九章算術
九章算術 漢 張蒼
昔在庖犠氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之數，以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，爲之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子；雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方；至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難爲也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。《周官大司徒》職，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，謂之地中。說雲，南戴日下萬五千裏。夫云爾者，以術推之。案：《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等爲術猶未足以博盡羣數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差爲率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之時。以景差爲法，表高乘表間爲實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間爲實，實如法而一，即爲從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地爲句、股，爲之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以爲股率，以筒徑爲句率，日去人之數爲大股，大股之句即日徑也。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以爲今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之於志，以闡世術之美，輒造《重差》，併爲註解，以究古人之意，綴於句股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入，博物君子，詳而覽焉。
卷一
○方田（以御田疇界域）
今有田廣十五步，從十六步。問爲田幾何？答曰：一畝。
又有田廣十二步，從十四步。問爲田幾何？答曰：一百六十八步。
〔圖：從十四，廣十二。〕
方田術曰：廣從步數相乘得積步。
〔此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪。
淳風等按：經雲廣從相乘得積步，注云廣從相乘謂之冪。觀斯注意，積冪義同。以理推之，固當不爾。何則？冪是方面單布之名，積乃衆數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據廣從之一方；其言積者舉衆步之都數。經雲相乘得積步，即是都數之明文。注云謂之爲冪，全乖積步之本意。此注前雲積爲田冪，於理得通。復雲謂之爲冪，繁而不當。今者註釋，存善去非，略爲料簡，遺諸後學。〕
以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝爲一頃。
〔淳風等按：此爲篇端，故特舉頃、畝二法。餘術不復言者，從此可知。一畝之田，廣十五步，從而疏之，令爲十五行，則每行廣一步而從十六步。又橫而截之，令爲十六行，則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自爲方，凡有二百四十步。一畝之地，步數正同。以此言之，則廣從相乘得積步，驗矣。
二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。〕
今有田廣一里，從一里。問爲田幾何？答曰：三頃七十五畝。
又有田廣二里，從三里。問爲田幾何？答曰：二十二頃五十畝。
裏田術曰：廣從裏數相乘得積裏。以三百七十五乘之，即畝數。
〔按：此術廣從裏數相乘得積裏。方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。〕
今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。
○約分
〔按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之；分之爲數，繁則難用。
設有四分之二者，繁而言之，亦可爲八分之四；約而言之，則二分之一也，雖則異辭，至於爲數，亦同歸爾。法實相推，動有參差，故爲術者先治諸分。〕
術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
〔等數約之，即除也。其所以相減者，皆等數之重疊，故以等數約之。〕
今有三分之一，五分之二，問合之得幾何？答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五，問合之得幾何？答曰：得一、六十三分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，問合之得幾何？答曰：得二、六十分之四十三。
○合分
〔淳風等按：合分知，數非一端，分無定準，諸分子雜互，羣母參差。粗細既殊，理難從一，故齊其衆分，同其羣母，令可相併，故曰合分。〕
術曰：母互乘子，並以爲實。母相乘爲法。
〔母互乘子。約而言之者，其分粗；繁而言之者，其分細。雖則粗細有殊，然其實一也。衆分錯雜，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可並也。凡母互乘子謂之齊，羣母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，物以羣分。數同類者無遠；數異類者無近。遠而通體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。然則齊同之術要矣：錯綜度數，動之斯諧，其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎？其一術者，可令母除爲率，率乘子爲齊。〕
實如法而一。不滿法者，以法命之。
〔今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得知，所謂同法爲母，實餘爲子，皆從此例。〕
其母同者，直相從之。
今有九分之八，減其五分之一，問餘幾何？答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，減其三分之一，問餘幾何？答曰：十二分之五。
○減分
〔淳風等按：諸分子、母數各不同，以少減多，欲知餘幾，減餘爲實，故曰減分。〕
術曰：母互乘子，以少減多，餘爲實。母相乘爲法。實如法而一。
〔母互乘子知，以齊其子也。以少減多知，齊故可相減也。母相乘爲法者，同其母也。母同子齊，故如母而一，即得。〕
今有八分之五，二十五分之十六，問孰多？多幾何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六，問孰多？多幾何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七，問孰多？多幾何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
○課分
〔淳風等按：分各異名，理不齊一，較其相近之數，故曰課分也。〕
術曰：母互乘子，以少減多，餘爲實。母相乘爲法。實如法而一，即相多也。
〔淳風等按：此術母互乘子，以少分減多分，與減分義同；惟相多之數，意與減分有異：減分知，求其餘數有幾；課分知，以其餘數相多也。〕
今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減四分之三者二，三分之二者一，並，以益三分之一，而各平於十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減三分之二者一，四分之三者四、並，以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。
○平分
〔淳風等按：平分知，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平分也。〕
術曰：母互乘子，〔齊其子也。〕
副併爲平實。
〔淳風等按：母互乘子，副併爲平實知，定此平實主限，衆子所當損益知，限爲平。〕
母相乘爲法。
〔母相乘爲法知，亦齊其子，又同其母。〕
以列數乘未並者各自爲列實。亦以列數乘法。
〔此當副置列數除平實，若然則重有分，故反以列數乘同齊。
淳風等按：問雲所平之分多少不定，或三或二，列位無常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一準平分不可豫定多少，故直雲列數而已。〕
以平實減列實，餘，約之爲所減。並所減以益於少。以法命平實，各得其平。
今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？答曰：人得一錢二十一分錢之四。
又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、四分錢之三。問人得幾何？答曰：人得二錢八分錢之一。
○經分
〔淳風等按：經分者，自合分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。以人數分所分，故曰經分也。〕
術曰：以人數爲法，錢數爲實，實如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知，齊其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全內子。
乘，散全則爲積分，積分則與子相通，故可令相從。凡數相與者謂之率。率知，自相與通。有分則可散，分重疊則約也；等除法實，相與率也。故散分者，必令兩分母相乘法實也。〕
重有分者同而通之。
〔又以法分母乘實，實分母乘法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內子，又令分母互乘上下。〕
今有田廣七分步之四，從五分步之三，問爲田幾何？答曰：三十五分步之十二。
又有田廣九分步之七，從十一分步之九，問爲田幾何？答曰：十一分步之七。
又有田廣五分步之四，從九分步之五，問爲田幾何？答曰：九分步之四。
○乘分
〔淳風等按：乘分者，分母相乘爲法，子相乘爲實，故曰乘分。〕
術曰：母相乘爲法，子相乘爲實，實如法而一。
〔凡實不滿法者而有母、子之名。若有分，以乘其實而長之，則亦滿法，乃爲全耳。又以子有所乘，故母當報除。報除者，實如法而一也。今子相乘則母各當報除，因令分母相乘而連除也。此田有廣從，難以廣諭。設有問者曰：馬二十匹，直金十二斤。今賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？答曰：三十五分斤之十二。其爲之也，當如經分術，以十二斤金爲實，三十五人爲法。設更言馬五匹，直金三斤。今賣馬四匹，七人分之，人得幾何？答曰：人得三十五分斤之十二。其爲之也，當齊其金、人之數，皆合初問入於經分矣。然則分子相乘爲實者，猶齊其金也；母相乘爲法者，猶齊其人也。同其母爲二十，馬無事於同，但欲求齊而已。又，馬五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，則爲一匹直金五分斤之三。七人賣四馬，一人賣七分馬之四。金與人交互相生。所從言之異，而計數則三術同歸也。〕
今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二，問爲田幾何？答曰：十八步。
又有田廣七步四分步之三，從十五步九分步之五，問爲田幾何？答曰：一百二十步九分步之五。
又有田廣十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六，問爲田幾何？答曰：一畝二百步十一分步之七。
○大廣田
〔淳風等按：大廣田知，初術直有全步而無餘分；次術空有餘分而無全步；此術先見全步，復有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。〕
術曰：分母各乘其全，分子從之，〔分母各乘其全，分子從之者，通全步內分子。如此則母、子皆爲實矣。〕
相乘爲實。分母相乘爲法。
〔猶乘分也。〕
實如法而一。
〔今爲術廣從俱有分，當各自通其分。命母入者，還須出之，故令分母相乘爲法而連除之。〕
今有圭田廣十二步，正從二十一步，問爲田幾何？答曰：一百二十六步。
又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二，問爲田幾何？答曰：二十三步六分步之五。
術曰：半廣以乘正從。
〔半廣知，以盈補虛爲直田也。亦可半正從以乘廣。按：半廣乘從，以取中平之數，故廣從相乘爲積步。畝法除之，即得也。〕
今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問爲田幾何？答曰：九畝一百四十四步。
又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問爲田幾何？答曰：二十三畝七十步。
術曰：並兩斜而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘並。畝法而一。
〔並而半之者，以盈補虛也。〕
今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步，問爲田幾何？答曰：一畝一百三十五步。
又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步，問爲田幾何？答曰：四十六畝二百三十二步半。
術曰：並踵、舌而半之，以乘正從。畝法而一。
〔中分箕田則爲兩邪田，故其術相似。又可並踵、舌，半正從，以乘之。〕
今有圓田，週三十步，徑十步。
〔淳風等按：術意以周三徑一爲率，週三十步，合徑十步。今依密率，合徑九步十一分步之六。〕
問爲田幾何？答曰：七十五步。
〔此於徽術，當爲田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳風等按：依密率，爲田七十一步二十三分步之一十三。〕
又有圓田，週一百八十一步，徑六十步三分步之一。
〔淳風等按：周三徑一，週一百八十一步，徑六十步三分步之一。依密率，徑五十七步二十二分步之一十三。〕
問爲田幾何？答曰：十一畝九十步十二分步之一。
〔此於徽術，當爲田十畝二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳風等按：依密率，當爲田十畝二百五步八十八分步之八十七。〕
術曰：半周半徑相乘得積步。
〔按：半周爲從，半徑爲廣，故廣從相乘爲積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。合徑率一而外周率三也。
又按：爲圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。觚面之外，又有餘徑。
以面乘餘徑，則冪出觚表。若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而爲圓冪。
此一週、徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。週三者，從其六觚之環耳。以推圓規多少之覺，乃弓之與弦也。然世傳此法，莫肯精核；學者踵古，習其謬失。
不有明據，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用博矣。謹按圖驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬，故置諸檢括，謹詳其記注焉。
割六觚以爲十二觚術曰：置圓徑二尺，半之爲一尺，即圓裏觚之面也。令半徑一尺爲弦，半面五寸爲句，爲之求股。以句冪二十五寸減弦冪，餘七十五寸，開方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微數。微數無名知以爲分子，以十爲分母，約作五分忽之二。故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑，餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面又謂之小股。爲之求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，餘分棄之。
開方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以爲二十四觚術曰：亦令半徑爲弦，半面爲句，爲之求股。置上小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。以減半徑，餘三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。爲之求小弦。其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，餘分棄之。開方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以爲四十八觚術曰：亦令半徑爲弦，半面爲句，爲之求股。置上小弦幕，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。爲之求小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，餘分棄之。
開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，餘分棄之，即四十八觚之一面。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也。
割四十八觚以爲九十六觚術曰：亦令半徑爲弦，半面爲句，爲之求股。置次上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九。
以減半徑，餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。
爲之求小弦。其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，餘分棄之。開方除之，得小弦六分五釐四毫三秒八忽，餘分棄之，即九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，又以四十八乘之，得冪三萬一千四百一十億二千四百萬忽，以百億除之，得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之冪也。以九十六觚之冪減之，餘六百二十五分寸之一百五，謂之差冪。倍之，爲分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪於九十六觚之冪，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出圓之表矣。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸以爲圓冪之定率而棄其餘分。以半徑一尺除圓冪，倍之，得六尺二寸八分，即週數。令徑自乘爲方冪四百寸，與圓冪相折，圓冪得一百五十七爲率，方冪得二百爲率。方冪二百其中容圓冪一百五十七也。圓率猶爲微少。
案：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方合外方之半。然則圓冪一百五十七，其中容方冪一百也。又令徑二尺與週六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十，則其相與之率也。周率猶爲微少也。晉武庫中漢時王莽作銅斛，其銘曰：律嘉量斛，內方尺而圓其外，庣旁九釐五毫，冪一百六十二寸，深一尺，積一千六百二十寸，容十鬥。以此術求之，得冪一百六十一寸有奇，其數相近矣。此術微少。而觚差冪六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之冪爲率消息，當取此分寸之三十六，以增於一百九十二觚之冪，以爲圓冪，三百一十四寸二十五分寸之四。置徑自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得五千，是爲率。方冪五千中容圓冪三千九百二十七；圓冪三千九百二十七中容方冪二千五百也。以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即週數也。全徑二尺與週數通相約，徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相與之率。若此者，蓋盡其纖微矣。舉而用之，上法仍約耳。當求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪，而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳。
淳風等案：舊術求圓，皆以周三徑一爲率。若用之求圓周之數，則周少徑多。
用之求其六觚之田，乃與此率合會耳。何則？假令六觚之田，觚間各一尺爲面，自然從角至角，其徑二尺可知。此則週六徑二與周三徑一已合。恐此猶爲難曉，今更引物爲喻。設令刻物作圭形者六枚，枚別三面，皆長一尺。攢此六物，悉使銳頭向裏，則成六觚之周，角徑亦皆一尺。更從觚角外畔，圍繞爲規，則六觚之徑盡達規矣。當面徑短，不至外規。若以徑言之，則爲規六尺，徑二尺，面徑皆一尺。面徑股不至外畔，定無二尺可知。故周三徑一之率於圓周乃是徑多周少。
徑一週三，理非精密。蓋術從簡要，舉大綱，略而言之。劉徽特以爲疏，遂改張其率。但周、徑相乘，數難契合。徽雖出斯二法，終不能究其纖毫也。祖沖之以其不精，就中更推其數。今者修撰，捃摭諸家，考其是非，衝之爲密。故顯之於徽術之下，冀學者知所裁焉。〕
又術曰：周、徑相乘，四而一。
〔此周與上觚同耳。周、徑相乘，各當一半。而今周、徑兩全，故兩母相乘爲四，以報除之。於徽術，以五十乘周，一百五十七而一，即徑也。以一百五十七乘徑，五十而一，即周也。新術徑率猶當微少。據周以求徑，則失之長；據徑以求周，則失之短。諸據見徑以求冪者，皆失之於微少；據周以求冪者，皆失之於微多。
淳風等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即徑；以二十二乘徑，七而一，即周。依術求之，即得。〕
又術曰：徑自相乘，三之，四而一。
〔按：圓徑自乘爲外方，三之，四而一者，是爲圓居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半徑，其冪即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。
是爲圓裏十二觚之冪耳。取以爲圓，失之於微少。於徽新術，當徑自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。
淳風等按：密率，令徑自乘，以十一乘之，十四而一，即圓冪也。〕
又術曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其於圓徑，三與一也。故六觚之周自相乘爲冪，若圓徑自乘者九方。九方凡爲十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之冪也。今此令周自乘，非但若爲圓徑自乘者九方而已。然則十二而一，所得又非十二觚之冪也。若欲以爲圓冪，失之於多矣。以六觚之周，十二而一可也。於徽新術，直令圓周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圓冪。其率：二十五者，周冪也；三百一十四者，周自乘之冪也。置週數六尺二寸八分，令自乘，得冪三十九萬四千三百八十四分。又置圓冪三萬一千四百分。皆以一千二百五十六約之，得此率。
淳風等按：方面自乘即得其積。圓周求其冪，假率乃通。但此術所求用三、一爲率。圓田正法，半周及半徑以相乘。今乃用全周自乘，故須以十二爲母。何者？據全周而求半周，則須以二爲法。就全周而求半徑，復假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之數。依密率，以七乘之，八十八而一。〕
今有宛田，下週三十步，徑十六步。問爲田幾何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下週九十九步，徑五十一步。問爲田幾何？答曰：五畝六十二步四分步之一。
術曰：以徑乘周，四而一。
〔此術不驗，故推方錐以見其形。假令方錐下方六尺，高四尺。四尺爲股，下方之半三尺爲句。正面邪爲弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，即方錐四面見者之冪。若令其中容圓錐，圓錐見冪與方錐見冪，其率猶方冪之與圓冪也。按：方錐下六尺，則方週二十四尺。以五尺乘而半之，則亦錐之見冪。
故求圓錐之數，折徑以乘下週之半，即圓錐之冪也。今宛田上徑圓穹，而與圓錐同術，則冪失之於少矣。然其術難用，故略舉大較，施之大廣田也。求圓錐之冪，猶求圓田之冪也。今用兩全相乘，故以四爲法，除之，亦如圓田矣。開立圓術說圓方諸率甚備，可以驗此。〕
今有弧田，弦二十步，矢十五步。問爲田幾何？答曰：一畝九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問爲田幾何？答曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
術曰：以弦乘矢，矢又自乘，並之，二而一。
〔方中之圓，圓裏十二觚之冪，合外方之冪四分之三也。中方合外方之半，則朱青合外方四分之一也。弧田，半圓之冪也。故依半圓之體而爲之術。以弦乘矢而半之，則爲黃冪，矢自乘而半之，則爲二青冪。青、黃相連爲弧體，弧體法當應規。今觚面不至外畔，失之於少矣。圓田舊術以周三徑一爲率，俱得十二觚之冪，亦失之於少也，與此相似。指驗半圓之冪耳。若不滿半圓者，益復疏闊。
宜句股鋸圓材之術，以弧弦爲鋸道長，以矢爲鋸深，而求其徑。既知圓徑，則弧可割分也。割之者，半弧田之弦以爲股，其矢爲句，爲之求弦，即小弧之弦也。
以半小弧之弦爲句，半圓徑爲弦，爲之求股。以減半徑，其餘即小弦之矢也。割之又割，使至極細。但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣。然於算數差繁，必欲有所尋究也。若但度田，取其大數，舊術爲約耳。〕
今有環田，中周九十二步，外週一百二十二步，徑五步。
〔此欲令與周三徑一之率相應，故言徑五步也。據中、外周，以徽術言之，當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳風等按：依密率，合徑四步二十二分步之十七。〕
問爲田幾何？答曰：二畝五十五步。
〔於徽術，當爲田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。
淳風等按：依密率，爲田二畝三十步二十二分步之十五。〕
術曰：並中、外周而半之，以徑乘之，爲積步。
〔此田截而中之周則爲長。並而半之知，亦以盈補虛也。此可令中、外周各自爲圓田，以中圓減外圓，餘則環實也。〕
又有環田，中週六十二步四分步之三，外週一百一十三步二分步之一，徑十二步三分步之二。
〔此田環而不通匝，故徑十二步三分步之二。若據上週求徑者，此徑失之於多，過周三徑一之率，蓋爲疏矣。於徽術，當徑八步六百二十八分步之五十一。
淳風等按：依周三徑一考之，合徑八步二十四分步之一十一。依密率，合徑八步一百七十六分步之一十三。〕
問爲田幾何？答曰：四畝一百五十六步四分步之一。
〔於徽術，當爲田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三徑一，爲田三畝二十五步六十四分步之二十五。
淳風等按：密率，爲田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕
術曰：置中、外周步數，分母子各居其下。母互乘子，通全步內分子。以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周爲實。分母相乘爲法。除之爲積步。餘，積步之分。以畝法除之，即畝數也。
〔按：此術，並中、外周步數於上，分母子於下，母互乘子者，爲中外周俱有餘分，故以互乘齊其子，母相乘同其母。子齊母同，故通全步，內分子。半之知，以盈補虛，得中平之周。周則爲從，徑則爲廣，故廣從相乘而得其積。既合分母，還須分母出之。故令周、徑分母相乘而連除之，即得積步。不盡，以等數除之而命分。以畝法除積步，得畝數也。〕
卷二
○粟米（以御交質變易）
粟米之法〔凡此諸率相與大通，其時相求，各如本率。可約者約之。別術然也。〕
粟率五十大抃五十四稻六十糲米三十糲飯七十五豉六十三粺米二十七粺飯五十四飧九十米二十四飯四十八熟菽一百三半御米二十一御飯四十二糵一百七十五小<麥啇>十三半菽荅麻麥各四十五今有〔此都術也。凡九數以爲篇名，可以廣施諸率。所謂告往而知來，舉一隅而三隅反者也。誠能分詭數之紛雜，通彼此之否塞，因物成率，審辨名分，平其偏頗，齊其參差，則終無不歸於此術也。〕
術曰：以所有數乘所求率爲實。以所有率爲法。
〔少者多之始，一者數之母，故爲率者必等之於一。據粟率五、糲率三，是粟五而爲一，糲米三而爲一也。欲化粟爲米者，粟當先本是一。一者，謂以五約之，令五而爲一也。訖，乃以三乘之，令一而爲三。如是，則率至於一，以五爲三矣。然先除後乘，或有餘分，故術反之。又完言之知，粟五升爲糲米三升；以分言之知，粟一斗爲糲米五分鬥之三，以五爲母，三爲子。以粟求糲米者，以子乘，其母報除也。然則所求之率常爲母也。
淳風等按：“宜云所求之率常爲子，所有之率常爲母。”今乃雲“所求之率常爲母”知，脫錯也。〕
實如法而一。
今有粟一斗，欲爲糲米。問得幾何？答曰：爲糲米六升。
術曰：以粟求糲米，三之，五而一。
〔淳風等按：都術：以所求率乘所有數，以所有率爲法。此術以粟求米，故粟爲所有數。三是米率，故三爲所求率。五爲粟率，故五爲所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故惟雲三、五也。〕
今有粟二斗一升，欲爲粺米。問得幾何？答曰：爲粺米一斗一升五十分升之十七。
術曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。
〔淳風等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕
今有粟四鬥五升，欲爲米。問得幾何？答曰：爲米二斗一升五分升之三。
術曰：以粟求米，十二之，二十五而一。
〔淳風等按：米之率二十有四，以爲率太繁，故因而半之。半所求之率，以乘所有之數。所求之率既減半，所有之率亦減半。是故十二乘之，二十五而一也。〕
今有粟七鬥九升，欲爲御米。問得幾何？答曰：爲御米三鬥三升五十分升之九。
術曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。
今有粟一斗，欲爲小<麥啇>。問得幾何？答曰：爲小<麥啇>二升一十分升之七。
術曰：以粟求小<麥啇>，二十七之，百而一。
〔淳風等按：小<麥啇>之率十三有半。半者二爲母，以二通之，得二十七，爲所求率。又以母二通其粟率，得一百，爲所有率。凡本率有分者，須即乘除也。
他皆仿此。〕
今有粟九鬥八升，欲爲大<麥啇>。問得幾何？答曰：爲大<麥啇>一十鬥五升二十五分升之二十一。
術曰：以粟求大<麥啇>，二十七之，二十五而一。
〔淳風等按：大<麥啇>之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求米，半其二率。〕
今有粟二斗三升，欲爲糲飯。問得幾何？答曰：爲糲飯三鬥四升半。
術曰：以粟求糲飯，三之，二而一。
〔淳風等按：糲飯之率七十有五，粟求糲飯，合以此數乘之。今以等數二十有五約其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕
今有粟三斗六升，欲爲粺飯。問得幾何？答曰：爲粺飯三鬥八升二十五分升之二十二。
術曰：以粟求粺飯，二十七之，二十五而一。
〔淳風等按：此術與大<麥啇>多同。〕
今有粟八斗六升，欲爲飯。問得幾何？答曰：爲飯八斗二升二十五分升之一十四。
術曰：以粟求飯，二十四之，二十五而一。
〔淳風等按：<麥啇>飯率四十八。此亦半二率而乘除。〕
今有粟九鬥八升，欲爲御飯。問得幾何？答曰：爲御飯八斗二升二十五分升之八。
術曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。
〔淳風等按：此術半率，亦與飯多同。〕
今有粟三鬥少半升，欲爲菽。問得幾何？答曰：爲菽二斗七升一十分升之三。
今有粟四鬥一升太半升，欲爲荅。問得幾何？答曰：爲荅三鬥七升半。
今有粟五斗太半升，欲爲麻。問得幾何？答曰：爲麻四鬥五升五分升之三。
今有粟一十鬥八升五分升之二，欲爲麥。問得幾何？答曰：爲麥九鬥七升二十五分升之一十四。
術曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一。
〔淳風等按：四術率並四十五，皆是爲粟所求，俱合以此率乘其本粟。術欲從省，先以等數五約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，義由於此。〕
今有粟七鬥五升七分升之四，欲爲稻。問得幾何？答曰：爲稻九鬥三十五分升之二十四。
術曰：以粟求稻，六之，五而一。
〔淳風等按：稻率六十，亦約二率而乘除。〕
今有粟七鬥八升，欲爲豉。問得幾何？答曰：爲豉九鬥八升二十五分升之七。
術曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
今有粟五斗五升，欲爲飧。問得幾何？答曰：爲飧九鬥九升。
術曰：以粟求飧，九之，五而一。
〔淳風等按：飧率九十，退位，與求稻多同。〕
今有粟四鬥，欲爲熟菽。問得幾何？答曰：爲熟菽八斗二升五分升之四。
術曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。
〔淳風等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率既被二乘，所有之率隨而俱長，故以二百七之，百而一。〕
今有粟二斗，欲爲糵。問得幾何？答曰：爲糵七鬥。
術曰：以粟求糵，七之，二而一。
〔淳風等按：糵率一百七十有五，合以此數乘其本粟。術欲從省，先以等數二十五約之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。〕
今有糲米十五斗五升五分升之二，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟二十五斗九升。
術曰：以糲米求粟，五之，三而一。
〔淳風等按：上術以粟求米，故粟爲所有數，三爲所求率，五爲所有率。今此以米求粟，故米爲所有數，五爲所求率，三爲所有率。準都術求之，各合其數。
以下所有反求多同，皆準此。〕
今有粺米二斗，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟三鬥七升二十七分升之一。
術曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。
今有米三鬥少半升，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟六鬥三升三十六分升之七。
術曰：以米求粟，二十五之，十二而一。
今有御米十四鬥，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟三十三鬥三升少半升。
術曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟一十鬥五升九分升之七。
術曰：以稻求粟，五之，六而一。
今有糲米一十九鬥二升七分升之一，欲爲粺米。問得幾何？答曰：爲粺米一十七鬥二升一十四分升之一十三。
術曰：以糲米求粺米，九之，十而一。
〔淳風等按：粺米率二十七，合以此數乘糲米。術欲從省，先以等數三約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。〕
今有糲米六鬥四升五分升之三，欲爲糲飯。問得幾何？答曰：爲糲飯一十六鬥一升半。
術曰：以糲米求糲飯，五之，二而一。
〔淳風等按：糲飯之率七十有五，宜以本糲米乘此率數。術欲從省，先以等數十五約之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，義由於此。〕
今有糲飯七斗六升七分升之四，欲爲飧。問得幾何？答曰：爲飧九鬥一升三十五分升之三十一。
術曰：以糲飯求飧，六之，五而一。
〔淳風等按：飧率九十，爲糲飯所求，宜以糲飯乘此率。術欲從省，先以等數十五約之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也。〕
今有菽一斗，欲爲熟菽。問得幾何？答曰：爲熟菽二斗三升。
術曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。
〔淳風等按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽數乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。〕
今有菽二斗，欲爲豉。問得幾何？答曰：爲豉二斗八升。
術曰：以菽求豉，七之，五而一。
〔淳風等按：豉率六十三，爲菽所求，宜以菽乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得七，而所有之率得五也。〕
今有麥八斗六升七分升之三，欲爲小<麥啇>。問得幾何？答曰：爲小<麥啇>二斗五升一十四分升之一十三。
術曰：以麥求小<麥啇>，三之，十而一。
〔淳風等按：小<麥啇>之率十三半，宜以母二通之，以乘本麥之數。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得三，所有之率得十也。〕
今有麥一斗，欲爲大<麥啇>。問得幾何？答曰：爲大抃一斗二升。
術曰：以麥求大<麥啇>，六之，五而一。
〔淳風等按：大<麥啇>之率五十有四，合以麥數乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得六，所有之率得五也。〕
今有出錢一百六十，買瓴甓十八枚。
〔瓴甓，磚也。〕
問枚幾何？答曰：一枚八錢九分錢之八。
今有出錢一萬三千五百，買竹二千三百五十個。問個幾何？答曰：一個，五錢四十七分錢之三十五。
經率術曰：以所買率爲法，所出錢數爲實，實如法得一。
〔此術猶經分。
淳風等按：今有之義，以所求率乘所有數，合以瓴甓一枚乘錢一百六十爲實。
但以一乘不長，故不復乘，是以徑將所買之率與所出之錢爲法、實也。又按：此今有之義。出錢爲所有數，一枚爲所求率，所買爲所有率，而今有之，即得所求數。一乘不長，故不復乘，是以徑將所買之率爲法，以所出之錢爲實，實如法得一枚錢。不盡者，等數而命分。〕
今有出錢五千七百八十五，買漆一斛六鬥七升太半升。欲鬥率之，問鬥幾何？答曰：一斗，三百四十五錢五百三分錢之一十五。
今有出錢七百二十，買縑一匹二丈一尺。欲丈率之，問丈幾何？答曰：一丈，一百一十八錢六十一分錢之二。
今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七尺。欲匹率之，問匹幾何？答曰：一匹，二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四。
今有出錢一萬三千六百七十，買絲一石二鈞一十七斤。欲石率之，問石几何？答曰：一石，八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八。
術曰：以求所率乘錢數爲實，以所買率爲法，實如法得一。
〔淳風等按：今有之義，錢爲所求率，物爲所有數，故以乘錢，又以分母乘之爲實。實如法而一，有分者通之。所買通分內子爲所有率，故以爲法。得錢數不盡而命分者，因法爲母，實餘爲子。實見不滿，故以命之。〕
今有出錢五百七十六，買竹七十八個。欲其大小率之，問各幾何？答曰：其四十八個，個七錢；其三十個，個八錢。
今有出錢一千一百二十，買絲一石二鈞十八斤。欲其貴賤斤率之，問各幾何？答曰：其二鈞八斤，斤五錢；其一石一十斤，斤六錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤石率之，問各幾何？答曰：其一鈞九兩一十二銖，石八千五十一錢；其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖，石八千五十二錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤鈞率之，問各幾何？答曰：其七斤一十兩九銖，鈞二千一十二錢；其一石二鈞二十斤八兩二十銖，鈞二千一十三錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤斤率之，問各幾何？答曰：其一石二鈞七斤十兩四銖，斤六十七錢；其二十斤九兩一銖，斤六十八錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤兩率之，問各幾何？答曰：其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖，兩四錢；其一鈞一十斤五兩四銖，兩五錢。
其率術曰：各置所買石、鈞、斤、兩以爲法，以所率乘錢數爲實，實如法而一。不滿法者，反以實減法。法賤實貴。其求石、鈞、斤、兩，以積銖各除法、實，各得其積數，餘各爲銖。
〔其率知，欲令無分。按：出錢五百七十六，買竹七十八個，以除錢，得七，實餘三十，是爲三十個復可增一錢。然則實餘之數即是貴者之數，故曰實貴也。
本以七十八個爲法，今以貴者減之，則其餘悉是賤者之數。故曰法賤也。其求石、鈞、斤、兩，以積銖各除法、實，各得其積數，餘各爲銖者，謂石、鈞、斤、兩積銖除實，又以石、鈞、斤、兩積銖除法，餘各爲銖，即合所問。〕
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤銖率之，問各幾何？答曰：其一鈞二十斤六兩十一銖，五銖一錢；其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖，六銖一錢。
今有出錢六百二十，買羽二千一百翭。
〔翭，羽本也。數羽稱其本，猶數草木稱其根株。〕
欲其貴賤率之，問各幾何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一錢；其九百六十翭，四翭錢。
今有出錢九百八十，買矢榦五千八百二十枚。欲其貴賤率之，問各幾何？答曰：其三百枚，五枚一錢；其五千五百二十枚，六枚一錢。
反其率術曰：以錢數爲法，所率爲實，實如法而一。不滿法者，反以實減法。法少實多。二物各以所得多少之數乘法、實，即物數。
〔按：其率：出錢六百二十，買羽二千一百翭。反之，當二百四十錢，一錢翭；其三百八十錢，一錢三翭。是錢有二價，物有貴賤。故以羽乘錢，反其率也。
淳風等按：其率者，錢多物少；反其率知，錢少物多；多少相反，故曰反其率也。其率者，以物數爲法，錢數爲實。反之知，以錢數爲法，物數爲實。不滿法知，實餘也。當以餘物化爲錢矣。法爲凡錢，而今以化錢減之，故以實減法。
法少知，經分之所得，故曰法少；實多者，餘分之所益，故曰實多。乘實宜以多，乘法宜以少，故曰各以其所得多少之數乘法、實，即物數。〕
卷三
○衰分（以御貴賤稟稅）
衰分〔衰分，差也。〕
術曰：各置列衰；〔列衰，相與率也。重疊，則可約。〕
副併爲法，以所分乘未並者，各自爲實。實如法而一。
〔法集而衰別。數，本一也。今以所分乘上別，以下集除之，一乘一除，適足相消，故所分猶存，且各應率而別也。於今有術，列衰各爲所求率，副併爲所有率，所分爲所有數。又以經分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，並六人，共分十二，爲人得二也。欲復作逐家者，則當列置人數，以一人所得乘之。
今此術先乘而後除也。〕
不滿法者，以法命之。
今有大夫、不更、簪嫋、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪嫋得一鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。
術曰：列置爵數，各自爲衰。
〔爵數者，謂大夫五，不更四，簪嫋三，上造二，公士一也。《墨子號令篇》以爵級爲賜，然則戰國之初有此名也。〕
副併爲法。以五鹿乘未並者各自爲實。實如法得一鹿。
〔今有術，列衰各爲所求率，副併爲所有率，今有鹿數爲所有數，而今有之，即得。〕
今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬。”馬主曰：“我馬食半牛。”今欲衰償之，問各出幾何？答曰：牛主出二斗八升七分升之四；馬主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。
術曰：置牛四、馬二、羊一，各自爲列衰，副併爲法。以五斗乘未並者各自爲實。實如法得一斗。
〔淳風等按：此術問意，羊食半馬，馬食半牛，是謂四羊當一牛，二羊當一馬。今術置羊一、馬二、牛四者，通其率以爲列衰。〕
今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢。欲以錢數多少衰出之，問各幾何？答曰：甲出五十一錢一百九分錢之四十一；乙出三十二錢一百九分錢之一十二；丙出一十六錢一百九分錢之五十六。
術曰：各置錢數爲列衰，副併爲法。以百錢乘未並者，各自爲實。實如法得一錢。
〔淳風等按：此術甲、乙、丙持錢數以爲列衰，副併爲所有率，未並者各爲所求率，百錢爲所有數，而今有之，即得。〕
今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問日織幾何？答曰：初日織一寸三十一分寸之十九；次日織三寸三十一分寸之七；次日織六寸三十一分寸之十四；次日織一尺二寸三十一分寸之二十八；次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。
術曰：置一、二、四、八、十六爲列衰，副併爲法。以五尺乘未並者，各自爲實。實如法得一尺。
今有北鄉算八千七百五十八，西鄉算七千二百三十六，南鄉算八千三百五十六。凡三鄉發徭三百七十八人。欲以算數多少衰出之，問各幾何？答曰：北鄉遣一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七；西鄉遣一百一十二人一萬二千一百七十五分人之四千四；南鄉遣一百二十九人一萬二千一百七十五分人之八千七百九。
術曰：各置算數爲列衰，〔淳風等按：三鄉算數，約，可半者，爲列衰。〕
副併爲法。以所發徭人數乘未並者，各自爲實。實如法得一人。
〔按：此術，今有之義也。〕
今有稟粟，大夫、不更、簪嫋、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人後來，亦當稟五斗。倉無粟，欲以衰出之，問各幾何？答曰：大夫出一斗四分鬥之一；不更出一斗；簪嫋出四分鬥之三；上造出四分鬥之二；公士出四分鬥之一。
術曰：各置所稟粟斛，斗數、爵次均之，以爲列衰。副並而加後來大夫亦五斗，得二十以爲法。以五斗乘未並者，各自爲實。實如法得一斗。
〔稟前五人十五斗者，大夫得五斗，不更得四鬥，簪嫋得三鬥，上造得二斗，公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少減與後來大夫，即與前來大夫同。據前來大夫已得五斗，故言亦也。各以所得斗數爲衰，並得十五，而加後來大夫亦五斗，凡二十，爲法也。是爲六人共出五斗，後來大夫亦俱損折。今有術，副併爲所有率，未並者各爲所求率，五斗爲所有數，而今有之，即得。〕
今有稟粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，問各幾何？答曰：三人，人得一斛一斗五升十三分升之五；二人，人得七斗六升十三分升之十二。
術曰：置三人，人三；二人，人二，爲列衰。副併爲法。以五斛乘未並者各自爲實。實如法得一斛。
反衰術曰：列置衰而令相乘，動者爲不動者衰。
今有大夫、不更、簪嫋、上造、公士凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？答曰：大夫出八錢一百三十七分錢之一百四；不更出一十錢一百三十七分錢之一百三十；簪嫋出一十四錢一百三十七分錢之八十二；上造出二十一錢一百三十七分錢之一百二十三；公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九。
術曰：置爵數，各自爲衰，而反衰之。副併爲法。以百錢乘未並者，各自爲實。實如法得一錢。
〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，當使大夫一人受五分，不更一人受四分。人數爲母，分數爲子。母同則子齊，齊即衰也。故上衰分宜以五、四爲列焉。今此令高爵出少，則當大夫五人共出一人分，不更四人共出一人分，故謂之反衰。人數不同，則分數不齊。當令母互乘子。母互乘子，則動者爲不動者衰也。亦可先同其母，各以分母約，其子爲反衰。副併爲法。以所分乘未並者，各自爲實。實如法而一。〕
今有甲持粟三升，乙持糲米三升，丙持糲飯三升。欲令合而分之，問各幾何？答曰：甲二升一十分升之七；乙四升一十分升之五；丙一升一十分升之八。
術曰：以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五爲衰，而反衰之。副併爲法。
以九升乘未並者，各自爲實。實如法得一升。
〔按：此術，三人所持升數雖等，論其本率，精粗不同。米率雖少，令最得多；飯率雖多，反使得少。故令反之，使精得多而粗得少。於今有術，副併爲所有率，未並者各爲所求率，九升爲所有數，而今有之，即得。〕
今有絲一斤，價直二百四十。今有錢一千三百二十八，問得絲幾何？答曰：五斤八兩一十二銖五分銖之四。
術曰：以一斤價數爲法，以一斤乘今有錢數爲實。實如法得絲數。
〔按：此術今有之義，以一斤價爲所有率，一斤爲所求率，今有錢爲所有數，而今有之，即得。〕
今有絲一斤，價直三百四十五。今有絲七兩一十二銖，問得錢幾何？答曰：一百六十一錢三十二分錢之二十三。
術曰：以一斤銖數爲法，以一斤價數乘七兩一十二銖爲實。實如法得錢數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以絲一斤銖數爲所有率，價錢爲所求率，今有絲爲所有數，而今有之，即得。〕
今有縑一丈，價直一百二十八。今有縑一匹九尺五寸，問得錢幾何？答曰：六百三十三錢五分錢之三。
術曰：以一丈寸數爲法，以價錢數乘今有縑寸數爲實。實如法得錢數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以縑一丈寸數爲所有率，價錢爲所求率，今有縑寸數爲所有數，而今有之，即得。〕
今有布一匹，價直一百二十五。今有布二丈七尺，問得錢幾何？答曰：八十四錢八分錢之三。
術曰：以一匹尺數爲法，今有布尺數乘價錢爲實。實如法得錢數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以一匹尺數爲所有率，價錢爲所求率，今有布爲所有數，今有之，即得。〕
今有素一匹一丈，價直六百二十五。今有錢五百，問得素幾何？答曰：得素一匹。
術曰：以價直爲法，以一匹一丈尺數乘今有錢數爲實。實如法得素數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以價錢爲所有率，五丈尺數爲所求率，今有錢爲所有數，今有之，即得。〕
今有與人絲一十四斤，約得縑一十斤。今與人絲四十五斤八兩，問得縑幾何？答曰：三十二斤八兩。
術曰：以一十四斤兩數爲法，以一十斤乘今有絲兩數爲實。實如法得縑數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以一十四斤兩數爲所有率，一十斤爲所求率，今有絲爲所有數，而今有之，即得。〕
今有絲一斤，耗七兩。今有絲二十三斤五兩，問耗幾何？答曰：一百六十三兩四銖半。
術曰：以一斤展十六兩爲法。以七兩乘今有絲兩數爲實。實如法得耗數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以一斤爲十六兩爲所有率，七兩爲所求率，今有絲爲所有數，而今有之，即得。〕
今有生絲三十斤，幹之，耗三斤十二兩。今有乾絲一十二斤，問生絲幾何？答曰：一十三斤一十一兩十銖七分銖之二。
術曰：置生絲兩數，除耗數，餘，以爲法。
〔餘四百二十兩，即乾絲率。〕
三十斤乘乾絲兩數爲實。實如法得生絲數。
〔凡所得率，如細則俱細，粗則俱粗，兩數相抱而已。故品物不同，如上縑、絲之比，相與率焉。三十斤凡四百八十兩，今生絲率四百八十兩，今乾絲率四百二十兩，則其數相通。可俱爲銖，可俱爲兩，可俱爲斤，，無所歸滯也。若然，宜以所有乾絲斤數乘生絲兩數爲實。今以斤、兩錯互而亦同歸者，使乾絲以兩數爲率，生絲以斤數爲率，譬之異類，亦各有一定之勢。
淳風等按：此術，置生絲兩數，除耗數，餘即乾絲之率，於今有術爲所有率；三十斤爲所求率，乾絲兩數爲所有數。凡所爲率者，細則俱細，粗則俱粗。今有一斤乘兩知，乾絲即以兩數爲率，生絲即以斤數爲率，譬之異物，各有一定之率也。〕
今有田一畝，收粟六升太半升。今有田一頃二十六畝一百五十九步，問收粟幾何？答曰：八斛四鬥四升一十二分升之五。
術曰：以畝二百四十步爲法。以六升太半升乘今有田積步爲實。實如法得粟數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以一畝步數爲所有率，六升太半升爲所求率，今有田積步爲所有數，而今有之，即得。〕
今有取保，一歲價錢二千五百。今先取一千二百，問當作日幾何？答曰：一百六十九日二十五分日之二十三。
術曰：以價錢爲法，以一歲三百五十四日乘先取錢數爲實。實如法得日數。
〔淳風等按：此術亦今有之義。以價爲所有率，一歲日數爲所求率，取錢爲所有數，而今有之，即得。〕
今有貸人千錢，月息三十。今有貸人七百五十錢，九日歸之，問息幾何？答曰：六錢四分錢之三。
術曰：以月三十日乘千錢爲法。
〔以三十日乘千錢爲法者，得三萬，是爲貸人錢三萬，一日息三十也。〕
以息三十乘今所貸錢數，又以九日乘之，爲實。實如法得一錢。
〔以九日乘今所貸錢爲今一日所有錢，於今有術爲所有數，息三十爲所求率；三萬錢爲所有率。此又可以一月三十日約息三十錢，爲十分一日，以乘今一日所有錢爲實；千錢爲法。爲率者，當等之於一也。故三十日或可乘本，或可約息，皆所以等之也。〕
卷四
○少廣（以御積冪方圓）
少廣〔淳風等按：一畝之田，廣一步，長二百四十步。今欲截取其從少，以益其廣，故曰少廣。〕
術曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，〔淳風等按：以分母乘全步者，通其分也；以母乘子者，齊其子也。〕
各以其母除其子，置之於左，命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者，皆通而同之。並之爲法。
〔淳風等按：諸子悉通，故可並之爲法。亦宜用合分術，列數尤多，若用乘則算數至繁，故別制此術，從省約。〕
置所求步數，以全步積分乘之爲實。
〔此以田廣爲法，以畝積步爲實。法有分者，當同其母，齊其子，以同乘法實，而並齊於法。今以分母乘全步及子，子如母而一，並以並全法，則法實俱長，意亦等也。故如法而一，得從步數。〕
實如法而一，得從步。
今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？答曰：一百六十步。
術曰：下有半，是二分之一。以一爲二，半爲一，並之，得三，爲法。置田二百四十步，亦以一爲二乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：一百三十步一十一分步之一十。
術曰：下有三分，以一爲六，半爲三，三分之一爲二，並之，得一十一，爲法。置田二百四十步，亦以一爲六乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：一百一十五步五分步之一。
術曰：下有四分，以一爲一十二，半爲六，三分之一爲四，四分之一爲三，並之，得二十五，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲一十二乘之，爲實。實如法而一，得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。
術曰：下有五分，以一爲六十，半爲三十，三分之一爲二十，四分之一爲一十五，五分之一爲一十二，並之，得一百三十七，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲六十乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：九十七步四十九分步之四十七。
術曰：下有六分，以一爲一百二十，半爲六十，三分之一爲四十，四分之一爲三十，五分之一爲二十四，六分之一爲二十，並之，得二百九十四，以爲法。
置田二百四十步，亦以一爲一百二十乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。
術曰：下有七分，以一爲四百二十，半爲二百一十，三分之一爲一百四十，四分之一爲一百五，五分之一爲八十四，六分之一爲七十，七分之一爲六十，並之，得一千八十九，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲四百二十乘之，爲實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。
術曰：下有八分，以一爲八百四十，半爲四百二十，三分之一爲二百八十，四分之一爲二百一十，五分之一爲一百六十八，六分之一爲一百四十，七分之一爲一百二十，八分之一爲一百五，並之，得二千二百八十三，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲八百四十乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。
術曰：下有九分，以一爲二千五百二十，半爲一千二百六十，三分之一爲八百四十，四分之一爲六百三十，五分之一爲五百四，六分之一爲四百二十，七分之一爲三百六十，八分之一爲三百一十五，九分之一爲二百八十，並之，得七千一百二十九，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲二千五百二十乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝、問從幾何？答曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術曰：下有一十分，以一爲二千五百二十，半爲一千二百六十，三分之一爲八百四十，四分之一爲六百三十，五分之一爲五百四，六分之一爲四百二十，七分之一爲三百六十，八分之一爲三百一十五，九分之一爲二百八十，十分之一爲二百五十二，並之，得七千三百八十一，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲二千五百二十乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
術曰：下有一十一分，以一爲二萬七千七百二十，半爲一萬三千八百六十，三分之一爲九千二百四十，四分之一爲六千九百三十，五分之一爲五千五百四十四，六分之一爲四千六百二十，七分之一爲三千九百六十，八分之一爲三千四百六十五，九分之一爲三千八十，一十分之一爲二千七百七十二，一十一分之一爲二千五百二十，並之，得八萬三千七百一十一，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲二萬七千七百二十乘之，爲實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問從幾何？答曰：七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。
術曰：下有一十二分，以一爲八萬三千一百六十，半爲四萬一千五百八十，三分之一爲二萬七千七百二十，四分之一爲二萬七百九十，五分之一爲一萬六千六百三十二，六分之一爲一萬三千八百六十，七分之一爲一萬一千八百八十，八分之一爲一萬三百九十五，九分之一爲九千二百四十，一十分之一爲八千三百一十六，十一分之一爲七千五百六十，十二分之一爲六千九百三十，並之，得二十五萬八千六十三，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲八萬三千一百六十乘之，爲實。實如法得從步。
〔淳風等按：凡爲術之意，約省爲善。宜云“下有一十二分，以一爲二萬七千七百二十，半爲一萬三千八百六十，三分之一爲九千二百四十，四分之一爲六千九百三十，五分之一爲五千五百四十四，六分之一爲四千六百二十，七分之一爲三千九百六十，八分之一爲三千四百六十五，九分之一爲三千八十，十分之一爲二千七百七十二，十一分之一爲二千五百二十，十二分之一爲二千三百一十，並之，得八萬六千二十一，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲二萬七千七百二十乘之，以爲實。實如法得從步。”其術亦得知，不繁也。〕
今有積五萬五千二百二十五步，問爲方几何？答曰：二百三十五步。
又有積二萬五千二百八十一步，問爲方几何？答曰：一百五十九步。
又有積七萬一千八百二十四步，問爲方几何？答曰：二百六十八步。
又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一，問爲方几何？答曰：七百五十一步半。
又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步，問爲方几何？答曰：六萬三千二十五步。
○開方
〔求方冪之一面也。〕
術曰：置積爲實。借一算，步之，超一等。
〔言百之面十也。言萬之面百也。〕
議所得，以一乘所借一算爲法，而以除。
〔先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也。〕
除已，倍法爲定法。
〔倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待復除，故曰定法。〕
其復除，折法而下。
〔欲除朱冪者，本當副置所得成方，倍之爲定法，以折、議、乘，而以除。
如是當復步之而止，乃得相命。故使就上折下。〕
復置借算，步之如初。以複議一乘之，〔欲除朱冪之角黃乙之冪，其意如初之所得也。〕
所得副以加定法，以除。以所得副從定法。
〔再以黃乙之面加定法者，是則張兩青冪之袤。〕
復除，折下如前。若開之不盡者，爲不可開，當以面命之。
〔術或有以借算加定法而命分者，雖粗相近，不可用也。凡開積爲方，方之自乘當還復有積分。令不加借算而命分，則常微少；其加借算而命分，則又微多。
其數不可得而定。故惟以面命之，爲不失耳。譬猶以三除十，以其餘爲三分之一，而復其數可以舉。不以面命之，加定法如前，求其微數。微數無名者以爲分子，其一退以十爲母，其再退以百爲母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也。〕
若實有分者，通分內子爲定實，乃開之。訖，開其母，報除。
〔淳風等按：分母可開者，並通之積先合二母。既開之後，一母尚存，故開分母，求一母爲法，以報除也。〕
若母不可開者，又以母乘定實，乃開之。訖，令如母而一。
〔淳風等按：分母不可開者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既開之後，亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。
又按：此術“開方”者，求方冪之面也。借一算者，假借一算，空有列位之名，而無除積之實。方隅得面，是故借算列之於下。“步之超一等”者，方十自乘，其積有百，方百自乘，其積有萬，故超位，至百而言十，至萬而言百。“議所得，以一乘所借算爲法，而以除”者，先得黃甲之面，以方爲積者兩相乘，故開方除之，還令兩面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法爲定法”者，實積未盡，當復更除，故豫張兩面朱冪袤，以待復除，故曰定法。“其復除，折法而下”者，欲除朱冪，本當副置所得成方，倍之爲定法，以折、議、乘之，而以除，如是，當復步之而止，乃得相命。故使就上折之而下。“復置借算，步之如初，以複議一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱冪之角黃乙之冪。“以所得副從定法”者，再以黃乙之面加定法，是則張兩青冪之袤，故如前開之，即合所問。〕
今有積一千五百一十八步四分步之三。問爲圓周幾何？答曰：一百三十五步。
〔於徽術，當週一百三十八步一十分步之一。
淳風等按：此依密率，爲週一百三十八步五十分步之九。〕
又有積三百步，問爲圓周幾何？答曰：六十步。
〔於徽術，當週六十一步五十分步之十九。
淳風等按：依密率，爲週六十一步一百分步之四十一。〕
開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，即得周。
〔此術以周三徑一爲率，與舊圓田術相返覆也。於徽術，以三百一十四乘積，如二十五而一，所得，開方除之，即周也。開方除之，即徑。是爲據見冪以求周，猶失之於微少。其以二百乘積，一百五十七而一，開方除之，即徑，猶失之於微多。
淳風等按：此注於徽術求周之法，其中不用“開方除之，即徑”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三徑一之率，假令週六徑二，半周半徑相乘得冪三，週六自乘得三十六。俱以等數除冪，得一週之數十二也。其積：本週自乘，合以一乘之，十二而一，得積三也。術爲一乘不長，故以十二而一，得此積。今還原，置此積三，以十二乘之者，復其本週自乘之數。凡物自乘，開方除之，復其本數，故開方除之，即周。〕
今有積一百八十六萬八百六十七尺，〔此尺謂立方尺也。凡物有高、深而言積者，曰立方。〕
問爲立方几何？答曰：一百二十三尺。
又有積一千九百五十三尺八分尺之一，問爲立方几何？答曰：一十二尺半。
又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，問爲立方几何？答曰：三十九尺八分尺之七。
又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，問爲立方几何？答曰：一百二十四尺太半尺。
開立方〔立方適等，求其一面也。〕
術曰：置積爲實。借一算，步之，超二等。
〔言千之面十，言百萬之面百。〕
議所得，以再乘所借一算爲法，而除之。
〔再乘者，亦求爲方冪。以上議命而除之，則立方等也。〕
除已，三之爲定法。
〔爲當復除，故豫張三面，以定方冪爲定法也。〕
復除，折而下。
〔復除者，三面方冪以皆自乘之數，須得折、議，定其厚薄爾。開平冪者，方百之面十；開立冪者，方千之面十。據定法已有成方之冪，故復除當以千爲百，折下一等也。〕
以三乘所得數，置中行。
〔設三廉之定長。〕
復借一算，置下行。
〔欲以爲隅方。立方等未有定數，且置一算定其位。〕
步之，中超一，下超二等。
〔上方法，長自乘而一折，中廉法，但有長，故降一等；下隅法，無面長，故又降一等也。〕
復置議，以一乘中，〔爲三廉備冪也。〕
再乘下，〔令隅自乘，爲方冪也。〕
皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚也。〕
除已，倍下，並中，從定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待復除也。言不盡意，解此要當以棋，乃得明耳。〕
復除，折下如前。開之不盡者，亦爲不可開。
〔術亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數爲分也。〕
若積有分者，通分內子爲定實。定實乃開之。訖，開其母以報除。
〔淳風等按：分母可開者，並通之積先合三母。既開之後一母尚存，故開分母，求一母，爲法，以報除也。〕
若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。
〔淳風等按：分母不可開者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既開之後，一母猶存，故令一母而一，得全面也。
按：“開立方”知，立方適等，求其一面之數。“借一算，步之，超二等”者，但立方求積，方再自乘，就積開之，故超二等，言千之面十，言百萬之面百。
“議所得，以再乘所借算爲法，而以除”知，求爲方冪，以議命之而除，則立方等也。“除已，三之爲定法”，爲積未盡，當復更除，故豫張三面已定方冪爲定法。“復除，折而下”知，三面方冪皆已有自乘之數，須得折、議定其厚薄。據開平方，百之面十，其開立方，即千之面十。而定法已有成方之冪，故復除之者，當以千爲百，折下一等。“以三乘所得數，置中行”者，設三廉之定長。“復借一算，置下行”者，欲以爲隅方，立方等未有數，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法長自乘而一折，中廉法但有長，故降一等，下隅法無面長，故又降一等。“復置議，以一乘中”者，爲三廉備冪。“再乘下”，當令隅自乘爲方冪。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚。“除已，倍下、並中，從定法”者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待復除。其開之不盡者，折下如前，開方，即合所問。“有分者，通分內子開之。訖，開其母以報除”，“可開者，並通之積，先合三母；既開之後，一母尚存，故開分母”者，“求一母爲法，以報除。”“若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一”，分母不可開者，本一母，又以母再乘，令合三母，既開之後，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。〕
今有積四千五百尺。
〔亦謂立方之尺也。〕
問爲立圓徑幾何？答曰：二十尺。
〔依密率，立圓徑二十尺，計積四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕
又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問爲立圓徑幾何？答曰：一萬四千三百尺。
〔依密率，爲徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三。〕
開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得，開立方除之，即立圓徑。
〔立圓，即丸也。爲術者，蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷爲方率十二，爲丸率九，丸居圓囷又四分之三也。
置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也。然此意非也。何以驗之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之爲立方二寸。規之爲圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫因之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按：合蓋者，方率也，丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷爲方率，豈不闕哉？以周三徑一爲圓率，則圓冪傷少；令圓囷爲方率，則丸積傷多，互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而丸猶傷多耳。觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。
黃金方寸，重十六兩；金丸徑寸，重九兩，率生於此，未曾驗也。《周官考工記》：“朅氏爲量，改煎金錫則不耗，不耗然後權之，權之然後準之，準之然後量之。”言鍊金使極精，而後分之則可以爲率也。令丸徑自乘，三而一，開方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺爲句，句自乘冪二十五尺。
倍之得五十尺，以爲弦冪，謂平面方五尺之弦也。以此弦爲股，亦以五尺爲句，並句股冪得七十五尺，是爲大弦冪。開方除之，則大弦可知也。大弦則中立方之長邪，邪即丸徑。故中立方自乘之冪於丸徑自乘之冪，三分之一也。今大弦還乘其冪，即丸外立方之積也。大弦冪開之不盡，令其冪七十五再自乘之，爲面，命得外立方積，四十二萬一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得積一百二十五尺，一百二十五尺自乘，爲面，命得積，一萬五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五約之，外立方積，六百七十五尺之面，中立方積，二十五尺之面也。
張衡算又謂立方爲質，立圓爲渾。衡言質之與中外之渾：六百七十五尺之面，開方除之，不足一，謂外渾積二十六也；內渾，二十五之面，謂積五尺也。今徽令質言中渾，渾又言質，則二質相與之率猶衡二渾相與之率也。衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也。衡又言：“質，六十四之面；渾，二十五之面。”質復言渾，謂居質八分之五也。又云：方，八之面；圓，五之面。”圓渾相推，知其復以圓囷爲方率，渾爲圓率也，失之遠矣。衡說之自然欲協其陰陽奇偶之說而不顧疏密矣。雖有文辭，斯亂道破義，病也。置外質積二十六，以九乘之，十六而一，得積十四尺八分尺之五，即質中之渾也。以分母乘全內子，得一百一十七。又置內質積五，以分母乘之，得四十，是謂質居渾一百一十七分之四十，而渾率猶爲傷多也。假令方二尺，方四面，並得八尺也，謂之方周。其中令圓徑與方等，亦二尺也。圓半徑以乘圓周之半，即圓冪也。半方以乘方周之半，即方冪也。然則方周知，方冪之率也；圓周知，圓冪之率也。按：如衡術，方周率八之面，圓周率五之面也。令方週六十四尺之面，圓周四十尺之面也。又令徑二尺自乘，得徑四尺之面，是爲圓周率十之面，而徑率一之面也。衡亦以周三徑一之率爲非，是故更著此法，然增周太多，過其實矣。
淳風等按：祖𣈶之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷爲方率，丸爲圓率，乃設新法。祖𣈶之開立圓術曰：“以二乘積，開立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棋一枚，令立樞於左後之下隅，從規去其右上之廉；又合而衡規之，去其前上之廉。於是立方之棋分而爲四，規內棋一，謂之內棋；規外棋三，謂之外棋。
規更合四棋，復橫斷之。以句股言之，令餘高爲句，內棋斷上方爲股，本方之數，其弦也。句股之法：以句冪減弦冪，則餘爲股冪。若令餘高自乘，減本方之冪，餘即內棋斷上方之冪也。本方之冪即此四棋之斷上冪。然則餘高自乘，即外三棋之斷上冪矣。不問高卑，勢皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠以演類，借況以析微。按：陽馬方高數參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數亦等焉。夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異。由此觀之，規之外三棋旁蹙爲一，即一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，內棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八內棋成一合蓋。內棋居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較然驗矣。置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以爲丸率。
故曰丸居立方二分之一也。”等數既密，心亦昭晢。張衡放舊，貽哂於後，劉徽循故，未暇校新。夫豈難哉，抑未之思也。依密率，此立圓積，本以圓徑再自乘，十一乘之，二十一而一，得此積。今欲求其本積，故以二十一乘之，十一而一。
凡物再自乘，開立方除之，復其本數。故立方除之，即丸徑也。〕
卷五
○商功（以御功程積實）
今有穿地，積一萬尺。問爲堅、壤各幾何？答曰：爲堅七千五百尺；爲壤一萬二千五百尺。
術曰：穿地四爲壤五，〔壤謂息土。〕
爲堅三，〔堅謂築土。〕
爲墟四。
〔墟謂穿坑。此皆其常率。〕
以穿地求壤，五之；求堅，三之；皆四而一。
〔今有術也。〕
以壤求穿，四之；求堅，三之；皆五而一。以堅求穿，四之；求壤，五之；皆三而一。
〔淳風等按：此術並今有之義也。重張穿地積一萬尺，爲所有數，堅率三、壤率五各爲所求率，穿率四爲所有率，而今有之，即得。〕
城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術。
術曰：並上下廣而半之，〔損廣補狹。〕
以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。
〔按：此術“並上下廣而半之”者，以盈補虛，得中平之廣。“以高若深乘之”，得一頭之立冪。“又以袤乘之”者，得立實之積，故爲積尺。〕
今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上廣六尺，爲垣積五百七十六尺。問穿地下廣幾何？答曰：三尺五分尺之三。
術曰：置垣積尺，四之爲實。
〔穿地四，爲堅三。垣，堅也。以堅求穿地，當四之，三而一也。〕
以深、袤相乘，〔爲深、袤之立實也。〕
又三之，爲法。
〔以深、袤乘之立實除垣積，即坑廣。又三之者，與堅率併除之。〕
所得，倍之。
〔爲坑有兩廣，先並而半之，即爲廣狹之中平。今先得其中平，故又倍之知，兩廣全也。〕
減上廣，餘即下廣。
〔按：此術穿地四，爲堅三。垣即堅也。今以堅求穿地，當四乘之，三而一。
深、袤相乘者，爲深袤立冪。以深袤立冪除積，即坑廣。又三之，爲法，與堅率併除。所得，倍之者，爲坑有兩廣，先並而半之，爲中平之廣。今此得中平之廣，故倍之還爲兩廣並。故減上廣，餘即下廣也。〕
今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。問積幾何？答曰：一百八十九萬七千五百尺：今有垣下廣三尺，上廣二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。問積幾何？答曰：六千七百七十四尺。
今有堤下廣二丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。問積幾何？答曰：七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺，問用徒幾何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。
術曰：以積尺爲實，程功尺數爲法，實如法而一，即用徒人數。
今有溝，上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈。問積幾何？答曰：四千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，並出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。
問用徒幾何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
術曰：置本人功，去其五分之一，餘爲法。
〔“去其五分之一”者，謂以四乘，五除也。〕
以溝積尺爲實，實如法而一，得用徒人數。
〔按：此術“置本人功，去其五分之一”者，謂以四乘之，五而一，除去出土之功，取其定功。乃通分內子以爲法。以分母乘溝積尺爲實者，法裏有分，實裏通之，故實如法而一，即用徒人數。此以一人之積尺除其衆尺，故用徒人數。
不盡者，等數約之而命分也。〕
今有塹，上廣一丈六尺三寸，下廣一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。
問積幾何？答曰：一萬九百四十三尺八寸。
〔八寸者，謂穿地方尺，深八寸。此積餘有方尺中二分四釐五毫，棄之。文欲從易，非其常定也。〕
夏程人功八百七十一尺，並出土功五分之一，沙礫水石之功作太半，定功二百三十二尺一十五分尺之四。問用徒幾何？答曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。
術曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙礫水石之功太半，餘爲法。
以塹積尺爲實。實如法而一，即用徒人數。
〔按：此術“置本人功，去其出土功五分之一”者，謂以四乘，五除。“又去沙礫水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分內子以爲法。
以分母乘塹積尺爲實者，爲法裏有分，實裏通之，故實如法而一，即用徒人數。
不盡者，等數約之而命分也。〕
今有穿渠，上廣一丈八尺，下廣三尺六寸，深一丈八尺，袤五萬一千八百二十四尺。問積幾何？答曰：一千七萬四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺，問用徒幾何？答曰：三萬三千五百八十二人，功內少一十四尺四寸。
一千人先到，問當受袤幾何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
術曰：以一人功尺數乘先到人數爲實。
〔以一千人一日功爲實。立實爲功。〕
並渠上下廣而半之，以深乘之，爲法。
〔以渠廣深之立實爲法。〕
實如法得袤尺。
今有方堡壔，〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，謂以土擁木也。〕
方一丈六尺，高一丈五尺。問積幾何？答曰：三千八百四十尺。
術曰：方自乘，以高乘之，即積尺。
今有圓堡瑽，週四丈八尺，高一丈一尺。問積幾何？答曰：二千一百一十二尺。
〔於徽術，當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。
淳風等按：依密率，積二千一十六尺。〕
術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
〔此章諸術亦以周三徑一爲率，皆非也。於徽術當以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一。此之圓冪亦如圓田之冪也。求冪亦如圓田，而以高乘冪也。
淳風等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕
今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。問積幾何？答曰：一十萬一千六百六十六尺太半尺。
術曰：上下方相乘，又各自乘，並之，以高乘之，三而一。
〔此章有塹堵、陽馬，皆合而成立方。蓋說算者乃立棋三品，以效高深之積。
假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面塹堵四，四角陽馬四。上下方相乘爲三尺，以高乘之，得積三尺，是爲得中央立方一，四面塹堵各一。下方自乘爲九，以高乘之，得積九尺。是爲中央立方一、四面塹堵各二、四角陽馬各三也。上方自乘，以高乘之，得積一尺，又爲中央立方一。凡三品棋皆一而爲三，故三而一，得積尺。用棋之數：立方三、塹堵陽馬各十二，凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，驗矣。爲術又可令方差自乘，以高乘之，三而一，即四陽馬也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面塹堵也。並之，以爲方亭積數也。〕
今有圓亭，下週三丈，上週二丈，高一丈。問積幾何？答曰：五百二十七尺九分尺之七。
〔於徽術，當積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。
淳風等按：依密率，爲積五百三尺三十三分尺之二十六。〕
術曰：上下週相乘，又各自乘，並之，以高乘之，三十六而一。
〔此術周三徑一之義。合以三除上下週，各爲上下徑。以相乘，又各自乘，並，以高乘之，三而一，爲方亭之積。假令三約上下週俱不盡，還通之，即各爲上下徑。令上下徑相乘，又各自乘，並，以高乘之，爲三方亭之積分。此合分母三相乘得九，爲法，除之。又三而一，得方亭之積。從方亭求圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪。乃令圓率三乘之，方率四而一，得圓亭之積。前求方亭之積，乃以三而一；今求圓亭之積，亦合三乘之。二母既同，故相准折，惟以方冪四乘分母九，得三十六，而連除之。於徽術，當上下週相乘，又各自乘，並，以高乘之，又二十五乘之，九百四十二而一。此方亭四角圓殺，比於方亭，二百分之一百五十七。爲術之意，先作方亭，三而一。則此據上下徑爲之者，當又以一百五十七乘之，六百而一也。今據周爲之，若於圓堡昪，又以二十五乘之，三百一十四而一，則先得三圓亭矣。故以三百一十四爲九百四十二而一，併除之。
淳風等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕
今有方錐，下方二丈七尺，高二丈九尺。問積幾何？答曰：七千四十七尺。
術曰：下方自乘，以高乘之，三而一。
〔按：此術假令方錐下方二尺，高一尺，即四陽馬。如術爲之，用十二陽馬成三方錐。故三而一，得方錐也。〕
今有圓錐，下週三丈五尺，高五丈一尺。問積幾何？答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。
〔於徽術，當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。
淳風等按：依密率，爲積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕
術曰：下週自乘，以高乘之，三十六而一。
〔按：此術圓錐下週以爲方錐下方。方錐下方令自乘，以高乘之，令三而一，得大方錐之積。大錐方之積合十二圓矣。今求一圓，複合十二除之，故令三乘十二，得三十六，而連除。於徽術，當下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一。圓錐比於方錐亦二百分之一百五十七。令徑自乘者，亦當以一百五十七乘之，六百而一。其說如圓亭也。
淳風等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕
今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。問積幾何？答曰：四萬六千五百尺。
術曰：廣袤相乘，以高乘之，二而一。
〔邪解立方，得兩塹堵。雖復橢方，亦爲塹堵。故二而一。此則合所規棋。
推其物體，蓋爲塹上疊也。其形如城，而無上廣，與所規棋形異而同實。未聞所以名之爲塹堵之說也。〕
今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何？答曰：九十三尺少半尺。
術曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一。
〔按：此術陽馬之形，方錐一隅也。今謂四柱屋隅爲陽馬。假令廣袤各一尺，高一尺，相乘，得立方積一尺。邪解立方，得兩塹堵；邪解塹堵，其一爲陽馬，一爲鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑成一陽馬，合三陽馬而成一立方，故三而一。驗之以棋，其形露矣。悉割陽馬，凡爲六鱉臑。觀其割分，則體勢互通，蓋易了也。其棋或修短、或廣狹、立方不等者，亦割分以爲六鱉臑。
其形不悉相似。然見數同，積實均也。鱉臑殊形，陽馬異體。然陽馬異體，則不純合。不純合，則難爲之矣。何則？按：邪解方棋以爲塹堵者，必當以半爲分；邪解塹堵以爲陽馬者，亦必當以半爲分，一從一橫耳。設以陽馬爲分內，鱉臑爲分外。棋雖或隨修短廣狹，猶有此分常率知，殊形異體，亦同也者，以此而已。
其使鱉臑廣、袤、高各二尺，用塹堵、鱉臑之棋各二，皆用赤棋。又使陽馬之廣、袤、高各二尺，用立方之棋一，塹堵、陽馬之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑，接爲塹堵，廣、袤、高各二尺。於是中攽其廣、袤，又中分其高。令赤、黑塹堵各自適當一方，高一尺，方一尺，每二分鱉臑，則一陽馬也。其餘兩端各積本體，合成一方焉。是爲別種而方者率居三，通其體而方者率居一。雖方隨棋改，而固有常然之勢也。按：餘數具而可知者有一、二分之別，則一、二之爲率定矣。其於理也豈虛矣。若爲數而窮之，置餘廣、袤、高之數，各半之，則四分之三又可知也。半之彌少，其餘彌細，至細曰微，微則無形。由是言之，安取餘哉？數而求窮之者，謂以情推，不用籌算。鱉臑之物，不同器用；陽馬之形，或隨修短廣狹。然不有鱉臑，無以審陽馬之數，不有陽馬，無以知錐亭之數，功實之主也。〕
今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺。問積幾何？答曰：二十三尺少半尺。
術曰：廣袤相乘，以高乘之，六而一。
〔按：此術臑者，臂節也。或曰：半陽馬，其形有似鱉肘，故以名雲。中破陽馬，得兩鱉臑。鱉臑之見數即陽馬之半數。數同而實據半，故云六而一，即得。〕
今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺；末廣八尺，無深；袤七尺。問積幾何？答曰：八十四尺。
術曰：並三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一。
〔按：此術羨除，實隧道也。其所穿地，上平下邪，似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形。假令用此棋：上廣三尺，深一尺，下廣一尺；末廣一尺，無深；袤一尺。下廣、末廣皆塹堵之廣。上廣者，兩鱉臑與一塹堵相連之廣也。以深、袤乘，得積五尺。鱉臑居二，塹堵居三，其於本棋皆一爲六，故六而一。合四陽馬以爲方錐。邪畫方錐之底，亦令爲中方。就中方削而上合，全爲中方錐之半。於是陽馬之棋悉中解矣。中錐離而爲四鱉臑焉。故外錐之半亦爲四鱉臑。雖背正異形，與常所謂鱉臑參不相似，實則同也。所云夾塹堵者，中錐之鱉臑也。凡塹堵上袤短者，連陽馬也。下袤短者，與鱉臑連也。上、下兩袤相等知，亦與鱉臑連也。
並三廣，以高、袤乘，六而一，皆其積也。今此羨除之廣即塹堵之袤也。按：此本是三廣不等，即與鱉臑連者。別而言之：中央塹堵廣六尺，高三尺，袤七尺。
末廣之兩旁，各一小鱉臑，皆與塹堵等。令小鱉臑居里，大鱉臑居表，則大鱉臑皆出橢方錐：下廣二尺，袤六尺，高七尺。分取其半，則爲袤三尺。以高、廣乘之，三而一，即半錐之積也。邪解半錐得此兩大鱉臑。求其積，亦當六而一，合於常率矣。按：陽馬之棋兩邪，棋底方。當其方也，不問旁角而割之，相半可知也。推此上連無成不方，故方錐與陽馬同實。角而割之者，相半之勢。此大小鱉臑可知更相表裏，但體有背正也。〕
今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈。問積幾何？答曰：五千尺。
術曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。
〔推明義理者：舊說雲：“凡積芻有上下廣曰童，甍，謂其屋蓋之苫也。”是故甍之下廣、袤與童之上廣、袤等。正解方亭兩邊，合之即芻甍之形也。假令下廣二尺，袤三尺；上袤一尺，無廣；高一尺。其用棋也，中央塹堵二，兩端陽馬各二。倍下袤，上袤從之，爲七尺。以下廣乘之，得冪十四尺。陽馬之冪各居二，塹堵之冪各居三。以高乘之，得積十四尺。其於本棋也，皆一而爲六。故六而一，即得。亦可令上下袤差乘廣，以高乘之，三而一，即四陽馬也；下廣乘上袤而半之，高乘之，即二塹堵；並之，以爲甍積也。〕
芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術。
術曰：倍上袤，下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之，並，以高若深乘之，皆六而一。
〔按：此術假令芻童上廣一尺，袤二尺；下廣三尺，袤四尺；高一尺。其用棋也，中央立方二，四面塹堵六，四角陽馬四。倍下袤爲八，上袤從之，爲十，以高、廣乘之，得積三十尺。是爲得中央立方各三，兩端塹堵各四，兩旁塹堵各六，四角陽馬亦各六。復倍上袤，下袤從之，爲八，以高、廣乘之，得積八尺。
是爲得中央立方亦各三，兩端塹堵各二。並兩旁，三品棋皆一而爲六。故六而一，即得。爲術又可令上下廣袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四陽馬；上下廣袤互相乘，並，而半之，以高乘之，即四面六塹堵與二立方；並之，爲芻童積。又可令上下廣袤互相乘而半之，上下廣袤又各自乘，並，以高乘之，三而一，即得也。〕
其曲池者，並上中、外周而半之，以爲上袤；亦並下中、外周而半之，以爲下袤。
〔此池環而不通匝，形如盤蛇，而曲之。亦云周者，謂如委谷依垣之周耳。
引而伸之，周爲袤。求袤之意，環田也。〕
今有芻童，下廣二丈，袤三丈；上廣三丈，袤四丈；高三丈。問積幾何？答曰：二萬六千五百尺。
今有曲池，上中週二丈，外週四丈，廣一丈；下中週一丈四尺，外週二丈四尺，廣五尺；深一丈。問積幾何？答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盤池，上廣六丈，袤八丈；下廣四丈，袤六丈，深二丈。問積幾何？答曰：七萬六百六十六尺太半尺。
負土往來七十步，其二十步上下棚除，棚除二當平道五；踟躕之間十加一；載輸之間三十步，定一返一百四十步。土籠積一尺六寸。秋程人功行五十九里半。
問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。
術曰：以一籠積尺乘程行步數，爲實。往來上下棚除二當平道五。
〔棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當五也。〕
置定往來步數，十加一，及載輸之間三十步，以爲法。除之，所得即一人所到尺。以所到約積尺，即用徒人數。
〔按：此術棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當五。置定往來步數，十加一，及載輸之間三十步，是爲往來一返凡用一百四十步。於今有術爲所有率，籠積一尺六寸爲所求率，程行五十九里半爲所有數，而今有之，即所到尺數。以所到約積尺，即用徒人數者，此一人之積除其衆積尺，故得用徒人數。爲術又可令往來一返所用之步約程行爲返數，乘籠積爲一人所到。以此術與今有術相反覆，則乘除之或先後，意各有所在而同歸耳。〕
今有冥谷，上廣二丈，袤七丈；下廣八尺，袤四丈；深六丈五尺。問積幾何？答曰：五萬二千尺。
載土往來二百步，載輸之間一里。程行五十八里；六人共車，車載三十四尺七寸。問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六。
術曰：以一車積尺乘程行步數，爲實。置今往來步數，加載輸之間一里，以車六人乘之，爲法。除之，所得即一人所到尺。以所到約積尺，即用徒人數。
〔按：此術今有之義。以載輸及往來並得五百步，爲所有率，車載三十四尺七寸爲所求率，程行五十八里，通之爲步，爲所有數，而今有之，所得即一車所到。欲得人到者，當以六人除之，即得。術有分，故亦更令乘法而併除者，亦用以車尺數以爲一人到土率，六人乘五百步爲行率也。又亦可五百步爲行率，令六人約車積尺數爲一人到土率，以負土術入之。入之者，亦可求返數也。要取其會通而已。術恐有分，故令乘法而併除。以所到約積尺，即用徒人數者，以一人所到積尺除其衆積，故得用徒人數也。〕
今有委粟平地，下週一十二丈，高二丈。問積及爲粟幾何？答曰：積八千尺。
〔於徽術，當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。
淳風等按：依密率，爲積七千六百三十六尺十一分尺之四。〕
爲粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。
〔於徽術，當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。
淳風等按：依密率，爲粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕
今有委菽依垣，下週三丈，高七尺。問積及爲菽各幾何？答曰：積三百五十尺。
〔依徽術，當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。
淳風等按：依密率，爲積三百三十四尺十一分尺之一。〕
爲菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。
〔依徽術，當菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之七千七百七十一。
淳風等按：依密率，爲菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕
今有委米依垣內角，下週八尺，高五尺。問積及爲米各幾何？答曰：積三十五尺九分尺之五。
〔於徽術，當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。
淳風等按：依密率，當積三十三尺三十三分尺之三十一。〕
爲米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。
〔於徽術，當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十。
淳風等按：依密率，爲米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕
委粟術曰：下週自乘，以高乘之，三十六而一。
〔此猶圓錐也。於徽術，亦當下週自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一也。〕
其依垣者，〔居圓錐之半也。〕
十八而一。
〔於徽術，當令此下週自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。
依垣之周，半於全周。其自乘之冪居全周自乘之冪四分之一，故半全周之法以爲法也。〕
其依垣內角者，〔角，隅也，居圓錐四分之一也。〕
九而一。
〔於徽術，當令此下週自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。依隅之周，半於依垣。其自乘之冪居依垣自乘之冪四分之一，當半依垣之法以爲法。法不可半，故倍其實。又此術亦用周三徑一之率。假令以三除周，得徑；若不盡，通分內子，即爲徑之積分。令自乘，以高乘之，爲三方錐之積分。
母自相乘得九，爲法，又當三而一，得方錐之積。從方錐中求圓錐之積，亦猶方冪求圓冪。乃當三乘之，四而一，得圓錐之積。前求方錐積，乃以三而一；今求圓錐之積，複合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而連除，圓錐之積。其圓錐之積與平地聚粟同，故三十六而一。
淳風等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百三十二而一；依隅者，六十六而一也。〕
程粟一斛積二尺七寸；〔二尺七寸者，謂方一尺，深二尺七寸，凡積二千七百寸。〕
其米一斛積一尺六寸五分寸之一；〔謂積一千六百二十寸。〕
其菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三。
〔謂積二千四百三十寸。此爲以精粗爲率，而不等其概也。粟率五，米率三，故米一斛於粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麥亦如本率雲。故謂此三量器爲概，而皆不合於今斛。當今大司農斛，圓徑一尺三寸五分五釐，正深一尺，於徽術，爲積一千四百四十一寸，排成餘分，又有十分寸之三。王莽銅斛於今尺爲深九寸五分五釐，徑一尺三寸六分八釐七毫。以徽術計之，於今斛爲容九鬥七升四合有奇。《周官考工記》：朅氏爲量，深一尺，內方一尺而圓外，其實一釜。於徽術，此圓積一千五百七十寸。《左氏傳》曰：“齊舊四量：豆、區、釜、鍾。四升曰豆，各自其四，以登於釜。釜十則鍾。”鍾六斛四鬥。釜六鬥四升，方一尺，深一尺，其積一千寸。若此方積容六鬥四升，則通外圓積成旁，容十鬥四合一龠五分龠之三也。以數相乘之，則斛之制：方一尺而圓其外，庣旁一釐七毫，冪一百五十六寸四分寸之一，深一尺，積一千五百六十二寸半，容十鬥。王莽銅斛與《漢書律曆志》所論斛同。〕
今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛。問高几何？答曰：二丈。
術曰：置粟一萬斛積尺爲實。廣、袤相乘爲法。實如法而一，得高尺。
〔以廣袤之冪除積，故得高。按：此術本以廣袤相乘，以高乘之，得此積。
今還元，置此廣袤相乘爲法，除之，故得高也。〕
今有圓囷，〔圓囷，廩也，亦云圓囤也。〕
高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。問周幾何？答曰：五丈四尺。
〔於徽術，當週五丈五尺二寸二十分寸之九。
淳風等按：依密率，爲週五丈五尺一百分尺之二十七。〕
術曰：置米積尺，〔此積猶圓堡昪之積。〕
以十二乘之，令高而一。所得，開方除之，即周。
〔於徽術，當置米積尺，以三百一十四乘之，爲實。二十五乘囷高爲法。所得，開方除之，即周也。此亦據見冪以求周，失之於微少也。晉武庫中有漢時王莽所作銅斛，其篆書字題斛旁雲：律嘉量斛，方一尺而圓其外，庣旁九釐五毫，冪一百六十二寸；深一尺，積一千六百二十寸，容十鬥。及斛底雲：律嘉量鬥，方尺而圓其外，庣旁九釐五毫，冪一尺六寸二分。深一寸，積一百六十二寸，容一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。後有贊文，與今律曆志同，亦魏晉所常用。今粗疏王莽銅斛文字、尺、寸、分數，然不盡得升、合、勺之文字。按：此術本週自相乘，以高乘之，十二而一，得此積。今還元，置此積，以十二乘之，令高而一，即複本周自乘之數。凡物自乘，開方除之，復其本數。故開方除之，即得也。
淳風等按：依密率，以八十八乘之，爲實。七乘囷高爲法。實如法而一。開方除之，即周也。〕
卷六
○均輸（以御遠近勞費）
今有均輸粟，甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。
凡四縣賦當輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近、戶數多少衰出之，問粟、車各幾何？答曰：甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。
術曰：令縣戶數各如其本行道日數而一，以爲衰。
〔按：此均輸，猶均運也。令戶率出車，以行道日數爲均，發粟爲輸。據甲行道八日，因使八戶共出一車；乙行道十日，因使十戶共出一車。計其在道，則皆戶一日出一車，故可爲均平之率也。
淳風等按：縣戶有多少之差，行道有遠近之異。欲其均等，故各令行道日數約戶爲衰。行道多者少其戶，行道少者多其戶。故各令約戶爲衰。以八日約除甲縣，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。於今有術，副併爲所有率。未並者各爲所求率，以賦粟車數爲所有數，而今有之，各得車數。一旬除乙，十三除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。〕
甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副併爲法。以賦粟車數乘未並者，各自爲實。
〔衰，分科率。〕
實如法得一車。
〔各置所當出車，以其行道日數乘之，如戶數而一，得率：戶用車二日四十七分日之三十一，故謂之均。求此戶以率，當各計車之衰分也。〕
有分者，上下輩之。
〔輩，配也。車、牛、人之數不可分裂，推少就多，均賦之宜。今按：甲分既少，宜從於乙。滿法除之，有餘從丙。丁分又少，亦宜就丙。除之適盡。加乙、丙各一，上下輩益，以少從多也。〕
以二十五斛乘車數，即粟數。
今有均輸卒：甲縣一千二百人，薄塞；乙縣一千五百五十人，行道一日；丙縣一千二百八十人，行道二日；丁縣九百九十人，行道三日；戊縣一千七百五十人，行道五日。凡五縣賦輸卒一月一千二百人。欲以遠近、人數多少衰出之，問縣各幾何？答曰：甲縣二百二十九人。乙縣二百八十六人。丙縣二百二十八人。
丁縣一百七十一人。戊縣二百八十六人。
術曰：令縣卒各如其居所及行道日數而一，以爲衰。
〔按：此亦以日數爲均，發卒爲輸。甲無行道日，但以居所三十日爲率。言欲爲均平之率者，當使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。出一人者，計役則皆一人一日，是以可爲均平之率。〕
甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副併爲法。以人數乘未並者各自爲實。實如法而一。
〔爲衰，於今有術，副併爲所有率，未並者各爲所求率，以賦卒人數爲所有數。此術以別，考則意同，以廣異聞，故存之也。各置所當出人數，以其居所及行道日數乘之，如縣人數而一。得率：人役五日七分日之五。〕
有分者，上下輩之。
〔輩，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不從乙者，丁近戊故也。滿法除之，有餘從乙。丙分又少，亦就乙除，有餘從甲。除之適盡。從甲、丙二分，其數正等，二者於乙遠近皆同，不以甲從乙者，方以下從上也。〕
今有均賦粟：甲縣二萬五百二十戶，粟一斛二十錢，自輸其縣；乙縣一萬二千三百一十二戶，粟一斛一十錢，至輸所二百里；丙縣七千一百八十二戶，粟一斛一十二錢，至輸所一百五十里；丁縣一萬三千三百三十八戶，粟一斛一十七錢，至輸所二百五十里；戊縣五千一百三十戶，粟一斛一十三錢，至輸所一百五十里。
凡五縣賦輸粟一萬斛。一車載二十五斛，與僦一里一錢。欲以縣戶賦粟，令費勞等，問縣各粟幾何？答曰：甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。
術曰：以一里僦價乘至輸所裏，〔此以出錢爲均也。問者曰：“一車載二十五斛，與僦一里一錢。”一錢，即一里僦價也。以乘裏數者，欲知僦一車到輸所所用錢也。甲自輸其縣，則無取僦價也。〕
以一車二十五斛除之，〔欲知僦一斛所用錢。〕
加一斛粟價，則致一斛之費。
〔加一斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢也：甲一斛之費二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊十九也。〕
各以約其戶數，爲衰。
〔言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十八戶共出一斛。計其所費，則皆戶一錢，故可爲均賦之率也。計經賦之率，既有戶算之率，亦有遠近、貴賤之率。此二率者，各自相與通。通則甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛之費謂之錢率。錢率約戶率者，則錢爲母，戶爲子。子不齊，令母互乘爲齊，則衰也。若其不然。以一斛之費約戶數，取衰。並有分，當通分內子，約之，於算甚繁。此一章皆相與通功共率，略相依似。以上二率、下一率亦可放此，從其簡易而已。又以分言之，使甲一戶出二十分斛之一，乙一戶出十八分斛之一，各以戶數乘之，亦可得一縣凡所當輸，俱爲衰也。乘之者，乘其子，母報除之。以此觀之，則以一斛之費約戶數者，其意不異矣。然則可置一斛之費而反衰之。約戶，以乘戶率爲衰也。合分注曰：“母除爲率，率乘子爲齊。”反衰注曰：“先同其母，各以分母約，其子爲反衰。”以施其率，爲算既約，且不妨處下也。〕
甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十，副併爲法。所賦粟乘未並者，各自爲實。實如法得一。
〔各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如戶數而一，得率：戶出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一。按：此以出錢爲均。問者曰：“一車載二十五斛，與僦一里一錢。”一錢即一里僦價也。以乘裏數者，欲知僦一車到輸所用錢。
甲自輸其縣，則無取僦之價。以一車二十五斛除之者，欲知僦一斛所用錢。加一斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢：甲一斛之費二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊一十九。各以約其戶，爲衰：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十八戶共出一斛。計其所費，則皆戶一錢，故可爲均賦之率也。於今有術，副併爲所有率，未並者各爲所求率，賦粟一萬斛爲所有數。此今有、衰分之義也。〕
今有均賦粟：甲縣四萬二千算，粟一斛二十，自輸其縣；乙縣三萬四千二百七十二算，粟一斛一十八，傭價一日一十錢，到輸所七十里；丙縣一萬九千三百二十八算，粟一斛一十六，傭價一日五錢，到輸所一百四十里；丁縣一萬七千七百算，粟一斛一十四，傭價一日五錢，到輸所一百七十五里；戊縣二萬三千四十算，粟一斛一十二，傭價一日五錢，到輸所二百一十里；己縣一萬九千一百三十六算，粟一斛一十，傭價一日五錢，到輸所二百八十里。凡六縣賦粟六萬斛，皆輸甲縣。六人共車，車載二十五斛，重車日行五十里，空車日行七十里，載輸之間各一日。粟有貴賤，傭各別價，以算出錢，令費勞等，問縣各粟幾何？答曰：甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九，丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
術曰：以車程行空、重相乘爲法，並空、重，以乘道里，各自爲實，實如法得一日。
〔按：此術重往空還，一輸再行道也。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齊而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。
完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。故並空、重者，齊其子也；空、重相乘者，同其母也。於今有術，至輸所裏爲所有數，六爲所求率，一百七十五爲所有率，而今有之，即各得輸所用日也。〕
加載輸各一日，〔故得凡日也。〕
而以六人乘之，〔欲知致一車用人也。〕
又以傭價乘之，〔欲知致車人傭直幾錢。〕
以二十五斛除之，〔欲知致一斛之傭直也。〕
加一斛粟價，即致一斛之費。
〔加一斛之價於致一斛之傭直，即凡輸一斛粟取傭所用錢。〕
各以約其算數爲衰，〔今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰十六。於今有術，副併爲所有率，未並者各自爲所求率，所賦粟爲所有數。此今有、衰分之義也。〕
副併爲法，以所賦粟乘未並者，各自爲實。實如法得一斛。
〔各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如算數而一，得率：算出九錢一百三十三分錢之三。又載輸之間各一日者，即二日也。〕
今有粟七鬥，三人分舂之，一人爲糲米，一人爲粺米，一人爲米，令米數等。問取粟、爲米各幾何？答曰：糲米取粟二斗一百二十一分鬥之一十。
粺米取粟二斗一百二十一分鬥之三十八。米取粟二斗一百二十一分鬥之七十三。爲米各一斗六百五分鬥之一百五十一。
術曰：列置糲米三十，粺米二十七，米二十四，而反衰之。
〔此先約三率：糲爲十，粺爲九，爲八。欲令米等者，其取粟：糲率十分之一，粺率九分之一，率八分之一。當齊其子，故曰反衰也。
淳風等按：米有精粗之異，粟有多少之差。據率，粺、少而糲多；用粟，則粺、多而糲少。米若依本率之分，粟當倍率，故今反衰之，使精取多而粗得少。〕
副併爲法。以七鬥乘未並者，各自爲取粟實。實如法得一斗。
〔於今有術，副併爲所有率，未並者各爲所求率，粟七鬥爲所有數，而今有之，故各得取粟也。〕
若求米等者，以本率各乘定所取粟爲實，以粟率五十爲法，實如法得一斗。
〔若徑求爲米等數者，置糲米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；米十二，用粟二十五。齊其粟，同其米，並齊爲法。以七鬥乘同爲實。所得，即爲米斗數。〕
今有人當稟粟二斛。倉無粟，欲與米一、菽二，以當所稟粟。問各幾何？答曰；米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。
術曰：置米一、菽二，求爲粟之數。並之，得三、九分之八，以爲法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自爲實。實如法得一斛。
〔淳風等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。
並全，得三。齊子，並之，得二十四；同母，得二十七；約之，得九分之八。故云“並之，得三、九分之八”。米一、菽二當粟三、九分之八，此其粟率也。於今有術，米一、菽二皆爲所求率，當粟三、九分之八，爲所有率，粟二斛爲所有數。凡言率者，當相與。通之，則爲米九、菽十八，當粟三十五也。亦有置米一、菽二，求其爲粟之率，以爲列衰。副併爲法，以粟乘列衰爲實。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所問。〕
今有取傭，負鹽二斛，行一百里，與錢四十。今負鹽一斛七鬥三升少半升，行八十里。問與錢幾何？答曰：二十七錢一十五分錢之一十一。
術曰：置鹽二斛升數，以一百里乘之爲法。
〔按：此術以負鹽二斛升數乘所行一百里，得二萬里。是爲負鹽一升行二萬里，得錢四十。於今有術，爲所有率。〕
以四十錢乘今負鹽升數，又以八十里乘之，爲實。實如法得一錢。
〔以今負鹽升數乘所行裏，今負鹽一升凡所行裏也。於今有術以所有數，四十錢爲所求率也。衰分章“貸人千錢”與此同。〕
今有負籠重一石，行百步，五十返。今負籠重一石一十七斤，行七十六步，問返幾何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。
術曰：以今所行步數乘今籠重斤數，爲法。
〔此法謂負一斤一返所行之積步也。〕
故籠重斤數乘故步，又以返數乘之，爲實。實如法得一返。
〔按：此法，負一斤一返所行之積步；此實者一斤一日所行之積步。故以一返之課除終日之程，即是返數也。
淳風等按：此術，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然則故所行者今返率也。故令所得返乘今返之率，爲實，而以故返之率爲法，今有術也。按：此負籠又有輕重，於是爲術者因令重者得返少，輕者得返多。故又因其率以乘法、實者，重今有之義也。然此意非也。按：此籠雖輕而行有限，籠過重則人力遺。
力有遺而術無窮，人行有限而籠輕重不等。使其有限之力隨彼無窮之變，故知此術率乖理也。若故所行有空行返數，設以問者，當因其所負以爲返率，則今返之數可得而知也。假令空行一日六十里，負重一斛行四十里。減重一斗進二里半，負重二斗以下與空行同。今負籠重六鬥，往返行一百步，問返幾何？答曰：一百五十返。術曰：置重行率，加十里，以裏法通之，爲實。以一返之步爲法。實如法而一，即得也。〕
今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里。今載太倉粟輸上林，五日三返，問太倉去上林幾何？答曰：四十八里一十八分裏之一十一術曰：並空、重裏數，以三返乘之，爲法。令空、重相乘，又以五日乘之，爲實。實如法得一里。
〔此亦如上術。率：一百七十五里之路，往返用六日也。於今有術，則五日爲所有數，一百七十五里爲所求率，六日爲所有率。以此所得，則三返之路。今求一返，當以三約之，因令乘法而併除也。爲術亦可各置空、重行一里用日之率，以爲列衰，副併爲法。以五日乘列衰爲實。實如法，所得即各空、重行日數也。
各以一日所行以乘，爲凡日所行。三返約之，爲上林去太倉之數。按：此術重往空還，一輸再還道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齊而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十五里之路，往返用六日。故並空、重者，並齊也；空、重相乘者，同其母也。於今有術，五日爲所有數，一百七十五爲所求率，六爲所有率。以此所得，則三返之路。今求一返者，當以三約之。故令乘法而併除，亦當約之也。〕
今有絡絲一斤爲練絲一十二兩，練絲一斤爲青絲一斤一十二銖。今有青絲一斤，問本絡絲幾何？答曰：一斤四兩一十六銖三十三分銖之一十六。
術曰：以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖爲法。以青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數，又以絡絲一斤乘，爲實。實如法得一斤。
〔按：練絲一斤爲青絲一斤十二銖，此練率三百八十四，青率三百九十六也。
又絡絲一斤爲練絲十二兩，此絡率十六，練率十二也。置今有青絲一斤，以練率三百八十四乘之，爲實。實如青絲率三百九十六而一。所得，青絲一斤，練絲之數也。又以絡率十六乘之，所得爲實；以練率十二爲法。所得，即練絲用絡絲之數也。是謂重今有也。雖各有率，不問中間。故令後實乘前實，後法乘前法而併除也。故以練絲兩數爲實，青絲銖數爲法。一曰：又置絡絲一斤兩數與練絲十二兩，約之，絡得四，練得三。此其相與之率。又置練絲一斤銖數與青絲一斤一十二銖，約之，練得三十二，青得三十三。亦其相與之率。齊其青絲、絡絲，同其二練，絡得一百二十八，青得九十九，練得九十六，即三率悉通矣。今有青絲一斤爲所有數，絡絲一百二十八爲所求率，青絲九十九爲所有率。爲率之意猶此，但不先約諸率耳。凡率錯互不通者，皆積齊同用之。放此，雖四五轉不異也。言同其二練者，以明三率之相與通耳，於術無以異也。又一術：今有青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數，爲實；以青絲一斤一十二銖爲法。所得，即用練絲兩數。以絡絲一斤乘所得爲實，以練絲十二兩爲法，所得，即用絡絲斤數也。〕
今有惡粟二十鬥，舂之，得糲米九鬥。今欲求粺米一十鬥，問惡粟幾何？答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。
術曰：置糲米九鬥，以九乘之，爲法。亦置粺米十鬥，以十乘之，又以惡粟二十鬥乘之，爲實。實如法得一斗。
〔按：此術置今有求粺米十鬥，以糲米率十乘之，如粺率九而一，即粺化爲糲，又以惡粟率二十乘之，如糲率九而一，即糲亦化爲惡粟矣。此亦重今有之義。爲術之意猶絡絲也。雖各有率，不問中間。故令後實乘前實，後法乘前法而併除之也。〕
今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。問幾何步及之？答曰：二百五十步。
術曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，餘四十步，以爲法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步，爲實。實如法得一步。
〔按：此術以六十步減一百步，餘四十步，即不善行者先行率也；善行者行一百步，追及率。約之，追及率得五，先行率得二。於今有術，不善行者先行一百步爲所有數，五爲所求率，二爲所有率，而今有之，得追及步也。〕
今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。問善行者幾何裏及之？答曰：三十三里少半里。
術曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以爲法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，爲實。實如法得一里。
〔按：此術不善行者既先行一十里，後不及二十里，並之，得三十里也，謂之先行率。善行者一百里爲追及率。約之，先行率得三，三爲所有率，而今有之，即得也。其意如上術也。〕
今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。問犬不止，復行幾何步及之？答曰：一百七步七分步之一。
術曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步減之，餘爲法。以不及三十步乘犬追步數爲實。實如法得一步。
〔按：此術以不及三十步減先走一百步，餘七十步，爲兔先走率。犬行二百五十步爲追及率。約之，先走率得七，追及率得二十五。於今有術，不及三十步爲所有數，二十五爲所求率，七爲所有率，而今有之，即得也。〕
今有人持金十二斤出關，關稅之，十分而取一。今關取金二斤，償錢五千。
問金一斤值錢幾何？答曰：六千二百五十。
術曰：以一十乘二斤，以十二斤減之，餘爲法。以一十乘五千爲實。實如法得一錢。
〔按：此術置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所當稅者也。減二斤，餘即關取盈金。以盈除所償錢，即金值也。今術既以十二斤爲所稅，則是以十爲母，故以十乘二斤及所償錢，通其率。於今有術，五千錢爲所有數，十爲所求率，八爲所有率，而今有之，即得也。〕
今有客馬，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃覺。持衣追及，與之而還；至家視日四分之三。問主人馬不休，日行幾何？答曰：七百八十里。
術曰：置四分日之三，除三分日之一，〔按：此術“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其減也。減之餘，有十二分之五，即是主人追客還用日率也。〕
半其餘，以爲法。
〔去其還，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是爲主人與客均行用日之率也。〕
副置法，增三分日之一。
〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未覺之前獨行用日之分也。並連此數，得二十四分日之十三，則主人追及前用日之分也。
是爲客用日率也。然則主人用日率者，客馬行率也；客用日率者，主人馬行率也。
母同則子齊，是爲客馬行率五，主人馬行率十三。於今有術，三百里爲所有數，十三爲所求率，五爲所有率，而今有之，即得也。〕
以三百里乘之，爲實。實如法，得主人馬一日行。
〔欲知主人追客所行裏者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，得一百六十二里半。以此乘客馬與主人均行日分母二十四，如客馬與主人均行用日分子五而一，亦得主人馬一日行七百八十里也。〕
今有金棰，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤。問次一尺各重幾何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八兩。次一尺重三斤。次一尺重三斤八兩。次一尺重四斤。
術曰：令末重減本重，餘，即差率也。又置本重，以四間乘之，爲下第一衰。
副置，以差率減之，每尺各自爲衰。
〔按：此術五尺有四間者，有四差也。今本末相減，餘即四差之凡數也。以四約之，即得每尺之差。以差數減本重，餘即次尺之重也。爲術所置，如是而已。
今此率以四爲母，故令母乘本爲衰，通其率也。亦可置末重，以四間乘之，爲上第一衰。以差重率加之，爲次下衰也。〕
副置下第一衰，以爲法。以本重四斤遍乘列衰，各自爲實。實如法得一斤。
〔以下第一衰爲法，以本重乘其分母之數，而又反此率乘本重，爲實。一乘一除，勢無損益，故惟本存焉。衆衰相推爲率，則其餘可知也。亦可副置末衰爲法，而以末重二斤乘列衰爲實。此雖迂迴，然是其舊。故就新而言之也。〕
今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？答曰：甲得一錢六分錢之二。乙得一錢六分錢之一。丙得一錢。丁得六分錢之五。戊得六分錢之四。
術曰：置錢，錐行衰。
〔按：此術“錐行”者，謂如立錐：初一、次二、次三、次四、次五，各均，爲一列者也。〕
並上二人爲九，並下三人爲六。六少於九，三。
〔數不得等，但以五、四、三、二、一爲率也。〕
以三均加焉，副併爲法。以所分錢乘未並者，各自爲實。實如法得一錢。
〔此問者，令上二人與下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，則得二三；均加下部，則得三三。下部猶差一人，差得三，以通於本率，即上、下部等也。於今有術，副併爲所有率，未並者各爲所求率，五錢爲所有數，而今有之，即得等耳。假令七人分七錢，欲令上二人與下五人等，則上、下部差三人。
並上部爲十三，下部爲十五。下多上少，下不足減上。當以上、下部列差而後均減，乃合所問耳。此可仿下術：令上二人分二錢半爲上率，令下三人分二錢半爲下率。上、下二率以少減多，餘爲實。置二人、三人，各半之，減五人，餘爲法。
實如法得一錢，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得錢數也。〕
今有竹九節，下三節容四升，上四節容三升。問中間二節慾均容，各多少？答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三十九。
術曰：以下三節分四升爲下率，以上四節分三升爲上率。
〔此二率者，各其平率也。〕
上、下率以少減多，餘爲實。
〔按：此上、下節各分所容爲率者，各其平率。上、下以少減多者，餘爲中間五節半之凡差，故以爲實也。〕
置四節、三節，各半之，以減九節，餘爲法。實如法得一升。即衰相去也。
〔按此術法者，上下節所容已定之節，中間相去節數也；實者，中間五節半之凡差也。故實如法而一，則每節之差也。〕
下率一升少半升者，下第二節容也。
〔一升少半升者，下三節通分四升之平率。平率即爲中分節之容也。〕
今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧、雁俱起，問何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
術曰：並日數爲法，日數相乘爲實，實如法得一日。
〔按：此術置鳧七日一至，雁九日一至。齊其至，同其日，定六十三日鳧九至，雁七至。今鳧、雁俱起而問相逢者，是爲共至。並齊以除同，即得相逢日。
故“並日數爲法”者，並齊之意；“日數相乘爲實”者，猶以同爲實也。一曰：鳧飛日行七分至之一，雁飛日行九分至之一。齊而同之，鳧飛定日行六十三分至之九，雁飛定日行六十三分至之七。是爲南北海相去六十三分，鳧日行九分，雁日行七分也。並鳧、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕
今有甲髮長安，五日至齊；乙發齊，七日至長安。今乙發已先二日，甲乃髮長安，問幾何日相逢？答曰：二日十二分日之一。
術曰：並五日、七日，以爲法。
〔按：此術“並五日、七日爲法”者，猶並齊爲法。置甲五日一至，乙七日一至。齊而同之，定三十五日甲七至，乙五至。並之爲十二至者，用三十五日也。
謂甲、乙與發之率耳。然則日化爲至，當除日，故以爲法也。〕
以乙先發二日減七日，〔“減七日”者，言甲、乙俱發，今以發爲始發之端，於本道里則餘分也。〕
也。
餘，以乘甲日數爲實。
〔七者，長安去齊之率也；五者，後發相去之率也。今問後發，故舍七用五。
以乘甲五日，爲二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。
實如法得一日。
〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齊而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是爲齊去長安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。今乙先行發二日，已行十分，餘，相去二十五分。故減乙二日，餘，令相乘，爲二十五分。〕
今有一人一日爲牝瓦三十八枚，一人一日爲牡瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，問成瓦幾何？答曰：二十五枚少半枚。
術曰：並牝、牡爲法，牝、牡相乘爲實，實如法得一枚。
〔此意亦與鳧雁同術。牝、牡瓦相併，猶如鳧、雁日飛相併也。按：此術“並牝、牡爲法”者，並齊之意；“牝、牡相乘爲實”者，猶以同爲實也。故實如法，即得也。〕
今有一人一日矯矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人一日自矯、羽、摐，問成矢幾何？答曰：八矢少半矢。
術曰：矯矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒三人少半人。並之，得六人，以爲法。以五十矢爲實。實如法得一矢。
〔按：此術言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，猶鳧、雁共至之類，亦以同爲實，並齊爲法。可令矢互乘一人爲齊，矢相乘爲同。今先令同於五十矢。矢同則徒齊，其歸一也。——以此術爲鳧雁者，當雁飛九日而一至，鳧飛九日而一至七分至之二。並之，得二至七分至之二，以爲法。以九日爲實。——實如法而一，得一人日成矢之數也。〕
今有假田，初假之歲三畝一錢，明年四畝一錢，後年五畝一錢。凡三歲得一百。問田幾何？答曰：一頃二十七畝四十七分畝之三十一。
術曰：置畝數及錢數。令畝數互乘錢數，並，以爲法。畝數相乘，又以百錢乘之，爲實。實如法得一畝。
〔按：此術令畝互乘錢者，齊其錢；畝數相乘者，同其畝。同於六十，則初假之歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二也。凡三歲得錢一百，爲所有數，同畝爲所求率，四十七錢爲所有率，今有之，即得也。齊其錢，同其畝，亦如鳧雁術也。於今有術，百錢爲所有數，同畝爲所求率，並齊爲所有率。
淳風等按：假田六十畝，初歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二。
並之，得錢四十七。是爲得田六十畝，三歲所假。於今有術，百錢爲所有數，六十畝爲所求率，四十七爲所有率，而今有之，即合問也。〕
今有程耕，一人一日發七畝，一人一日耕三畝，一人一日耰種五畝。今令一人一日自發、耕、耰種之，問治田幾何？答曰：一畝一百一十四步七十一分步之六十六。
術曰：置發、耕、耰畝數，令互乘人數，並，以爲法。畝數相乘爲實。實如法得一畝。
〔此猶鳧雁術也。
淳風等按：此術亦發、耕、耰種畝數互乘人者，齊其人；畝數相乘者，同其畝。故並齊爲法，以同爲實。計田一百五畝，發用十五人，耕用三十五人，種用二十一人。並之，得七十一工。治得一百五畝，故以爲實。而一人一日所治，故以人數爲法除之，即得也。〕
今有池，五渠注之。其一渠開之，少半日一滿，次一日一滿，次二日半一滿，次三日一滿，次五日一滿。今皆決之，問幾何日滿池？答曰：七十四分日之十五。
術曰：各置渠一日滿池之數，並，以爲法。
〔按：此術其一渠少半日滿者，是一日三滿也；次一日一滿；次二日半滿者，是一日五分滿之二也；次三日滿者，是一日三分滿之一也；次五日滿者，是一日五分滿之一也。並之，得四滿十五分滿之十四也。〕
以一日爲實，實如法得一日。
〔此猶矯矢之術也。先令同於一日，日同則滿齊。自鳧雁至此，其爲同齊有二術焉，可隨率宜也。〕
其一術：各置日數及滿數。
〔其一渠少半日滿者，是一日三滿也；次一日一滿；次二日半滿者，是五日二滿；次三日一滿，次五日一滿。此謂之列置日數及滿數也。〕
令日互相乘滿，並，以爲法。日數相乘爲實。實如法得一日。
〔亦如鳧雁術也。按：此其一渠少半日滿池者，是一日三滿池也；次一日一滿；次二日半滿者，是五日再滿；次三日一滿；次五日一滿。此謂列置日數於右行，及滿數於左行。以日互乘滿者，齊其滿；日數相乘者，同其日。滿齊而日同，故並齊以除同，即得也。〕
今有人持米出三關，外關三而取一，中關五而取一，內關七而取一，餘米五斗。問本持米幾何？答曰：十鬥九升八分升之三。
術曰：置米五斗，以所稅者三之，五之，七之，爲實。以餘不稅者二、四、六相互乘爲法。實如法得一斗。
〔此亦重今有也。所稅者，謂今所當稅之。定三、五、七皆爲所求率，二、四、六皆爲所有率。置今有餘米五斗，以七乘之，六而一，即內關未稅之本米也。
又以五乘之，四而一，即中關未稅之本米也。又以三乘之，二而一，即外關未稅之本米也。今從末求本，不問中間，故令中率轉相乘而同之，亦如絡絲術。
又一術：外關三而取一，則其餘本米三分之二也。求外關所稅之餘，則當置一，二分乘之，三而一。欲知中關，以四乘之，五而一。欲知內關，以六乘之，七而一。凡餘分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，爲分母；二、四、六相乘，得四十八，爲分子。約而言之，則是餘米於本所持三十五分之十六也。
於今有術，餘米五斗爲所有數，分母三十五爲所求率，分子十六爲所有率也。〕
今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一。並五關所稅，適重一斤。問本持金幾何？答曰：一斤三兩四銖五分銖之四。
術曰：置一斤，通所稅者以乘之，爲實。亦通其不稅者，以減所通，餘爲法。
實如法得一斤。
〔此意猶上術也。“置一斤，通所稅者”，謂令二、三、四、五、六相乘，爲分母，七百二十也。“通其所不稅者”，謂令所稅之餘一、二、三、四、五相乘，爲分子，一百二十也。約而言之，是爲餘金於本所持六分之一也。以子減母，凡五關所稅六分之五也。於今有術，所稅一斤爲所有數，分母六爲所求率，分子五爲所有率。此亦重今有之義。又雖各有率，不問中間，故令中率轉相乘而連除之，即得也。置一以爲持金之本率，以稅率乘之、除之，則其率亦成積分也。〕
卷七
○盈不足（以御隱雜互見）
今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？答曰：七人。物價五十三。
今有共買雞，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。問人數、雞價各幾何？答曰：九人。雞價七十。
今有共買璡，人出半，盈四；人出少半，不足三。問人數、璡價各幾何？答曰：四十二人。璡價十七。
〔注云“若兩設有分者，齊其子，同其母”，此問兩設俱見零分，故齊其子，同其母。又云“令下維乘上。訖，以同約之”，不可約，故以乘，同之。〕
今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。問家數、牛價各幾何？答曰：一百二十六家。牛價三千七百五十。
〔按：此術並盈不足者，爲衆家之差，故以爲實。置所出率，各以家數除之，各得一家所出率。以少減多者，得一家之差。以除，即家數。以出率乘之，減盈，故得牛價也。〕
術曰：置所出率，盈不足各居其下。令維乘所出率，並，以爲實。並盈、不足，爲法。實如法而一。
〔按：盈者，謂朓；不足者，謂之朒；所出率謂之假令。盈、朒維乘兩設者，欲爲同齊之意。據“共買物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齊其假令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通計齊則不盈不朒之正數，故可並之爲實，並盈、不足爲法。齊之三十二者，是四假令，有盈十二；齊之二十一者，是三假令，亦朒十二；並七假令合爲一實，故並三、四爲法。〕
有分者通之。
〔若兩設有分者，齊其子，同其母。令下維乘上，訖，以同約之。〕
盈不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實爲物價，法爲人數。
〔“所出率以少減多”者，餘，謂之設差，以爲少設。則並盈、朒，是爲定實。故以少設約定實，則法，爲人數；適足之實故爲物價。盈朒當與少設相通。不可遍約，亦當分母乘，設差爲約法、實。〕
其一術曰：並盈、不足爲實。以所出率，以少減多，餘爲法。實如法得一人。
以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。
〔此術意謂盈不足爲衆人之差。以所出率以少減多，餘爲一人之差。以一人之差約衆人之差，故得人數也。〕
今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數、金價各幾何？答曰：三十三人。金價九千八百。
今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數、羊價各幾何？答曰：二十一人。羊價一百五十。
術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，以少減多，餘爲實。
兩盈、兩不足以少減多，餘爲法。實如法而一。有分者，通之。兩盈兩不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實爲物價，法爲人數。
〔按：此術兩不足者，兩設皆不足於正數。其所以變化，猶兩盈。而或有勢同而情違者。當其爲實，俱令不足維乘相減，則遺其所不足焉。故其餘所以爲實者，無朒數以損焉。蓋出而有餘，兩盈。兩設皆逾於正數。假令與共買物，人出八，盈三；人出九，盈十。齊其假令，同其兩盈。兩盈俱三十。舉齊則兼去。
其餘所以爲實者，無盈數。兩盈以少減多，餘爲法。齊之八十者，是十假令；而凡盈三十者，是十，以三之；齊之二十七者，是三假令；而凡盈三十者，是三，以十之。今假令兩盈共十、三，以三減十，餘七，爲一實。故令以三減十，餘七爲法。所出率以少減多，餘謂之設差。因設差爲少設，則兩盈之差是爲定實。故以少設約法得人數，約實即得金數。〕
其一術曰：置所出率，以少減多，餘爲法。兩盈、兩不足以少減多，餘爲實。
實如法而一，得人數。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。
〔“置所出率，以少減多”，得一人之差。兩盈、兩不足相減，爲衆人之差。
故以一人之差除之，得人數。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。〕
今有共買犬，人出五，不足九十；人出五十，適足。問人數、犬價各幾何？答曰：二人。犬價一百。
今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數、豕價各幾何？答曰：一十人。豕價九百。
術曰：以盈及不足之數爲實。置所出率，以少減多，餘爲法。實如法得一人。
其求物價者，以適足乘人數，得物價。
〔此術意謂以所出率，以少減多者，餘是一人不足之差。不足數爲衆人之差。
以一人差約之，故得人之數也。以盈及不足數爲實者，數單見，即衆人差，故以爲實。所出率以少減多，即一人差，故以爲法。以除衆人差，得人數。以適足乘人數，即得物價也。〕
今有米在十鬥桶中，不知其數。滿中添粟而舂之，得米七鬥。問故米幾何？答曰：二斗五升。
術曰：以盈不足術求之。假令故米二斗，不足二升；令之三鬥，有餘二升。
〔按：桶受一斛，若使故米二斗，須添粟八斗以滿之。八斗得糲米四鬥八升，課於七鬥，是爲不足二升。若使故米三鬥，須添粟七鬥以滿之。七鬥得糲米四鬥二升，課於七鬥，是爲有餘二升。以盈不足維乘假令之數者，欲爲齊同之意。爲齊同者，齊其假令，同其盈朒。通計齊即不盈不朒之正數，故可以並之爲實，並盈、不足爲法。實如法，即得故米斗數，乃不盈不朒之正數也。〕
今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺。問幾何日相逢？瓜、瓠各長几何？答曰：五日十七分日之五。瓜長三尺七寸一十七分寸之一。瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。
術曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有餘一尺二寸。
〔按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日，上延蔓五尺；課於九尺之垣，是爲不足五寸。“令之六日，有餘一尺二寸”者，若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺；課於九尺之垣，是爲有餘一尺二寸。以盈、不足維乘假令之數者，欲爲齊同之意。齊其假令，同其盈朒。通計齊即不盈不朒之正數，故可並以爲實，並盈、不足爲法。實如法而一，即設差不盈不朒之正數，即得日數。以瓜、瓠一日之長乘之，故各得其長之數也。〕
今有蒲生一日，長三尺；莞生一日，長一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。問幾何日而長等？答曰：二日十三分日之六。各長四尺八寸一十三分寸之六。
術曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有餘一尺七寸半。
〔按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，長四尺五寸；莞生二日，長三尺；是爲未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有餘一尺七寸半”者，蒲增前七寸半，莞增前四尺，是爲過一尺七寸半，故曰有餘。以盈不足乘除之。
又以後一日所長各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之長也。故各增二日定長，即得其數。〕
今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。
問醇、行酒各得幾何？答曰：醇酒二升半。行灑一斗七升半。
術曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有餘一十；令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。
〔據醇酒五升，直錢二十五；行酒一斗五升，直錢一十五；課於三十，是爲有餘十。據醇酒二升，直錢一十；行酒一斗八升，直錢一十八；課於三十，是爲不足二。以盈不足術求之。此問已有重設及其齊同之意也。〕
今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛。問大、小器各容幾何？答曰：大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。
術曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十鬥；令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。
〔按：大器容五斗，大器五容二斛五斗。以減三斛，餘五鬥，即小器一所容。
故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗，大器一，合爲三斛。課於兩斛，乃多十鬥。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七鬥五升。以減三斛，餘二鬥五升，即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗五升，合爲一斛八斗。課於二斛，少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足維乘，除之。〕
今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三鬥，欲令分以易油，還自和餘漆。
問出漆、得油、和漆各幾何？答曰：出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。
和漆一斗八升四分升之三。
術曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有餘二升。
〔按：此術三鬥之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升，餘有二斗一升，則六升無油可和，故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升，則易得油一斗六升，可和漆二斗。於三鬥之中已出一斗二升，餘有一斗八升。見在油合和得漆二斗，則是有餘二升。以盈、不足維乘之，爲實。並盈、不足爲法。實如法而一，得出漆升數。求油及和漆者，四、五各爲所求率，三、四各爲所有率，而今有之，即得也。〕
今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩。今有石立方三寸，中有玉，並重十一斤。問玉、石重各幾何？答曰：玉一十四寸，重六斤二兩。石一十三寸，重四斤一十四兩。
術曰：假令皆玉，多十三兩；令之皆石，不足一十四兩。不足爲玉，多爲石。
各以一寸之重乘之，得玉、石之積重。
〔立方三寸是一面之方，計積二十七寸。玉方一寸重七兩，石方一寸重六兩，是爲玉、石重差一兩。假令皆玉，合有一百八十九兩。課於一十一斤，有餘一十三兩。玉重而石輕，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸損一兩，則以爲石重，故言多爲石。言多之數出於石以爲玉。假令皆石，合有一百六十二兩。課於十一斤，少十四兩，故曰不足。此不足即以重爲輕。故令減少數於並重，即二十七寸之中有十四寸，寸增一兩也。〕
今有善田一畝，價三百；惡田七畝，價五百。今並買一頃，價錢一萬。問善、惡田各幾何？答曰：善田一十二畝半。惡田八十七畝半。
術曰：假令善田二十畝，惡田八十畝，多一千七百一十四錢七分錢之二；令之善田一十畝，惡田九十畝，不足五百七十一錢七分錢之三。
〔按：善田二十畝，直錢六千；惡田八十畝，直錢五千七百一十四、七分錢之二，課於一萬，是多一千七百一十四、七分錢之二。令之善田十畝，直錢三千；惡田九十畝，直錢六千四百二十八、七分錢之四；課於一萬，是爲不足五百七十一、七分錢之三。以盈不足術求之也。〕
今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重，適等。交易其一，金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何？答曰：金重二斤三兩一十八銖。銀重一斤一十三兩六銖。
術曰：假令黃金三斤，白銀二斤一十一分斤之五，不足四十九，於右行。令之黃金二斤，白銀一斤一十一分斤之七，多一十五，於左行。以分母各乘其行內之數。以盈、不足維乘所出率，並，以爲實。並盈、不足爲法。實如法，得黃金重。分母乘法以除，得銀重。約之得分也。
〔按：此術假令黃金九，白銀一十一，俱重二十七斤。金，九約之，得三斤；銀，一十一約之，得二斤一十一分斤之五；各爲金、銀一枚重數。就金重二十七斤之中減一金之重，以益銀，銀重二十七斤之中減一銀之重，以益金，則金重二十六斤一十一分斤之五，銀重二十七斤一十一分斤之六。以少減多，則金輕一十七兩一十一分兩之五。課於一十三兩，多四兩一十一分兩之五。通分內子言之，是爲不足四十九。又令之黃金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤；白銀一十一，亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一斤一十一分斤之七，爲銀一枚之重數。
今就金重一十八斤之中減一枚金，以益銀；復減一枚銀，以益金，則金重一十七斤一十一分斤之七，銀重一十八斤一十一分斤之四。以少減多，即金輕一十一分斤之八。課於一十三兩，少一兩一十一分兩之四。通分內子言之，是爲多一十五。
以盈不足爲之，如法，得金重。分母乘法以除者，爲銀兩分母，故同之。須通法而後乃除，得銀重。餘皆約之者，術省故也。〕
今有良馬與駑馬髮長安，至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增一十三里，駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復還迎駑馬。問幾何日相逢及各行幾何？答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良馬行四千五百三十四里一百九十一分裏之四十六。駑馬行一千四百六十五里一百九十一分裏之一百四十五。
術曰：假令十五日，不足三百三十七里半；令之十六日，多一百四十里。以盈、不足維乘假令之數，並而爲實。並盈、不足爲法。實如法而一，得日數。不盡者，以等數除之而命分。求良馬行者：十四乘益疾裏數而半之，加良馬初日之行裏數，以乘十五日，得十五日之凡行。又以十五日乘益疾裏數，加良馬初日之行。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良馬凡行裏數，即得。其不盡而命分。求駑馬行者：以十四乘半里，又半之，以減駑馬初日之行裏數，以乘十五日，得駑馬十五日之凡行。又以十五日乘半里，以減駑馬初日之行，餘，以乘日分子，如日分母而一。所得，加前裏，即駑馬定行裏數。其奇半里者，爲半法。以半法增殘分，即得。其不盡者而命分。
〔按：“令十五日，不足三百三十七里半”者，據良馬十五日凡行四千二百六十里，除先去齊三千里，定還迎駑馬一千二百六十里；駑馬十五日凡行一千四百二里半，並良、駑二馬所行，得二千六百六十二里半。課於三千里，少三百三十七里半。故曰不足。“令之十六日，多一百四十里”者，據良馬十六日凡行四千六百四十八里；除先去齊三千里，定還迎駑馬一千六百四十八里，駑馬十六日凡行一千四百九十二里。並良、駑二馬所行，得三千一百四十里。課於三千里，餘有一百四十里。故謂之多也。以盈不足之，實如法而一，得日數者，即設差不盈不朒之正數。以二馬初日所行裏乘十五日，爲一十五日平行數。求初末益疾減遲之數者，並一與十四，以十四乘而半之，爲中平之積。又令益疾減遲裏數乘之，各爲減益之中平裏。故各減益平行數，得一十五日定行裏。若求後一日，以十六日之定行裏數乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行裏數。故各並十五日定行裏，即得。其駑馬奇半里者，法爲全裏之分，故破半里爲半法，以增殘分，即合所問也。〕
今有人持錢之蜀賈，利十，三。初返歸一萬四千，次返歸一萬三千，次返歸一萬二千，次返歸一萬一千，後返歸一萬。凡五返歸錢，本利俱盡。問本持錢及利各幾何？答曰：本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六。利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七。
術曰：假令本錢三萬，不足一千七百三十八錢半；令之四萬，多三萬五千三百九十錢八分。
〔按：假令本錢三萬，並利爲三萬九千；除初返歸留，餘，加利爲三萬二千五百；除二返歸留，餘，又加利爲二萬五千三百五十；除第三返歸留，餘，又加利爲一萬七千三百五十五；除第四返歸留，餘，又加利爲八千二百六十一錢半；除第五返歸留，合一萬錢，不足一千七百三十八錢半。若使本錢四萬，並利爲五萬二千；除初返歸留，餘，加利爲四萬九千四百；除第二返歸留，餘，又加利爲四萬七千三百二十；除第三返歸留，餘，又加利爲四萬五千九百一十六；除第四返歸留，餘，又加利爲四萬五千三百九十錢八分；除第五返歸留，合一萬，餘三萬五千三百九十錢八分，故曰多。
又術：置後返歸一萬，以十乘之，十三而一，即後所持之本。加一萬一千，又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一萬二千，又以十乘之，十三而一，即第三返之本。加一萬三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一萬四千，又以十乘之，十三而一，即初持之本。並五返之錢以減之，即利也。〕
今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問幾何日相逢？各穿幾何？答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
術曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有餘三尺七寸半。
〔大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸；並大鼠所穿，合四尺五寸。課於垣厚五尺，是爲不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得一尺七寸半。並之，以減垣厚五尺，有餘三尺七寸半。以盈不足術求之，即得。
以後一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定穿，即合所問也。〕
卷八
○方程（以御錯糅正負）
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九鬥四分鬥之一。中禾一秉四鬥四分鬥之一。下禾一秉二斗四分鬥之三。
方程〔程，課程也。羣物總雜，各列有數，總言其實。令每行爲率。二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列爲行，故謂之方程。行之左右無所同存，且爲有所據而言耳。此都術也，以空言難曉，故特系之禾以決之。又列中、左行如右行也。〕
術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。
〔爲術之意，令少行減多行，反覆相減，則頭位必先盡。上無一位，則此行亦闕一物矣。然而舉率以相減，不害餘數之課也。若消去頭位，則下去一物之實。
如是疊令左右行相減，審其正負，則可得而知。先令右行上禾乘中行，爲齊同之意。爲齊同者，謂中行直減右行也。從簡易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義然矣。〕
又乘其次，亦以直除。
〔復去左行首。〕
然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。
〔亦令兩行相去行之中禾也。〕
左方下禾不盡者，上爲法，下爲實。實即下禾之實。
〔上、中禾皆去，故餘數是下禾實，非但一秉。欲約衆秉之實，當以禾秉數爲法。列此，以下禾之秉數乘兩行，以直除，則下禾之位皆決矣。各以其餘一位之秉除其下實。即計數矣用算繁而不省。所以別爲法，約也。然猶不如自用其舊。
廣異法也。〕
求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。
〔此謂中兩禾實，下禾一秉實數先見，將中秉求中禾，其列實以減下實。而左方下禾雖去一，以法爲母，於率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法爲母，而除下禾實。以下禾先見之實令乘下禾秉數，即得下禾一位之列實。減於下實，則其數是中禾之實也。〕
餘，如中禾秉數而一，即中禾之實。
〔餘，中禾一位之實也。故以一位秉數約之，乃得一秉之實也。〕
求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。
〔此右行三禾共實，合三位之實。故以二位秉數約之，乃得一秉之實。今中下禾之實其數並見，令乘右行之禾秉以減之。故亦如前各求列實，以減下實也。〕
餘，如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。
〔三實同用，不滿法者，以法命之。母、實皆當約之。〕
今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十鬥；下禾八秉，益實一斗，與上禾二秉，而實一十鬥。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實一斗五十二分鬥之一十八。下禾一秉實五十二分鬥之四十一。
術曰：如方程。損之曰益，益之曰損。
〔問者之辭雖？今按：實雲上禾七秉，下禾二秉，實一十一斗；上禾二秉，下禾八秉，實九鬥也。“損之曰益”，言損一斗，餘當一十鬥；今欲全其實，當加所損也。“益之曰損”，言益實以一斗，乃滿一十鬥；今欲知本實，當減所加，即得也。〕
損實一斗者，其實過一十鬥也；益實一斗者，其實不滿一十鬥也。
〔重諭損益數者，各以損益之數損益之也。〕
今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿鬥。上取中、中取下、下取上各一秉而實滿鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰上禾一秉實二十五分鬥之九。中禾一秉實二十五分鬥之七。下禾一秉實二十五分鬥之四。
術曰：如方程。各置所取。
〔置上禾二秉爲右行之上，中禾三秉爲中行之中，下禾四秉爲左行之下，所取一秉及實一斗各從其位。諸行相借取之物皆依此例。〕
以正負術入之。
正負術曰：〔今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑，否則以邪正爲異。
方程自有赤、黑相取，法、實數相推求之術。而其並減之勢不得廣通，故使赤、黑相消奪之，於算或減或益。同行異位殊爲二品，各有並、減之差見於下焉。著此二條，特系之禾以成此二條之意。故赤、黑相雜足以定上下之程，減、益雖殊足以通左右之數，差、實雖分足以應同異之率。然則其正無入以負之，負無入以正之，其率不妄也。〕
同名相除，〔此謂以赤除赤，以黑除黑，行求相減者，爲去頭位也。然則頭位同名者，當用此條，頭位異名者，當用下條。〕
異名相益，〔益行減行，當各以其類矣。其異名者，非其類也。非其類者，猶無對也，非所得減也。故赤用黑對則除，黑；無對則除，黑；黑用赤對則除，赤；無對則除，赤；赤黑並於本數。此爲相益之，皆所以爲消奪。消奪之與減益成一實也。
術本取要，必除行首。至於他位，不嫌多少，故或令相減，或令相併，理無同異而一也。〕
正無入負之，負無入正之。
〔無入，爲無對也。無所得減，則使消奪者居位也。其當以列實或減下實，而行中正負雜者亦用此條。此條者，同名減實，異名益實，正無入負之，負無入正之也。〕
其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。
〔此條異名相除爲例，故亦與上條互取。凡正負所以記其同異，使二品互相取而已矣。言負者未必負於少，言正者未必正於多。故每一行之中雖復赤黑異算無傷。然則可得使頭位常相與異名。此條之實兼通矣，遂以二條反覆一率。觀其每與上下互相取位，則隨算而言耳，猶一術也。又，本設諸行，欲因成數以相去耳。故其多少無限，令上下相命而已。若以正負相減，如數有舊增法者，每行可均之，不但數物左右之也。〕
今有上禾五秉，損實一斗一升，當下禾七秉；上禾七秉，損實二斗五升，當下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉五升。下禾一秉二升。
術曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉負，損實一斗一升正。
〔言上禾五秉之實多，減其一斗一升，餘，是與下禾七秉相當數也。故互其算，令相折除，以一斗一升爲差。爲差者，上禾之餘實也。〕
次置上禾七秉正，下禾五秉負，損實二斗五升正。以正負術入之。
〔按：正負之術，本設列行，物程之數不限多少，必令與實上下相次，而以每行各自爲率。然而或減或益，同行異位，殊爲二品，各自並、減，之差見於下也。〕
今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一十秉；下禾一十五秉，損實五升，當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實八升。下禾一秉實三升。
術曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉負，損實一斗八升正。次，上禾五秉負，下禾一十五秉正，損實五升正。以正負術入之。
〔言上禾六秉之實多，減損其一斗八升，餘是與下禾十秉相當之數。故亦互其算，而以一斗八升爲差實。差實者，上禾之餘實。〕
今有上禾三秉，益實六鬥，當下禾一十秉；下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實八斗。下禾一秉實三鬥。
術曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉負，益實六鬥負。次置上禾二秉負，下禾五秉正，益實一斗負。以正負術入之。
〔言上禾三秉之實少，益其六鬥，然後於下禾十秉相當也。故亦互其算，而以六鬥爲差實。差實者，下禾之餘實。〕
今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩。問牛、羊各直金幾何？答曰：牛一直金一兩二十一分兩之一十三。羊一直金二十一分兩之二十。
術曰：如方程。
〔假令爲同齊，頭位爲牛，當相乘。右行定，更置牛十，羊四，直金二十兩；左行：牛十，羊二十五，直金四十兩。牛數等同，金多二十兩者，羊差二十一使之然也。以少行減多行，則牛數盡，惟羊與直金之數見，可得而知也。以小推大，雖四五行不異也。〕
今有賣牛二，羊五，以買一十三豕，有餘錢一千；賣牛三，豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊，八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？答曰牛價一千二百。羊價五百。豕價三百。
術曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三負，餘錢數正；次，牛三正，羊九負，豕三正；次五牛負，六羊正，八豕正，不足錢負。以正負術入之。
〔此中行買、賣相折，錢適足，故但互買賣算而已。故下無錢直也。設欲以此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故終於下實虛缺矣。故注曰正無實負，負無實正，方爲類也。方將以別實加適足之數與實物作實。
盈不足章“黃金白銀”與此相當。“假令黃金九，白銀一十一，稱之重適等。
交易其一，金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何？”與此同。〕
今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平。並雀、燕重一斤。問雀、燕一枚各重幾何？答曰：雀重一兩一十九分兩之一十三。
燕重一兩一十九分兩之五。
術曰：如方程。交易質之，各重八兩。
〔此四雀一燕與一雀五燕衡適平，並重一斤，故各八兩。列兩行程數。左行頭位其數有一者，令右行遍除。亦可令於左行而取其法、實於左。左行數多，以右行取其數。左頭位減盡，中、下位算當燕與實。右行不動。左上空，中法，下實，即每枚當重宜可知也。按：此四雀一燕與一雀五燕其重等，是三雀、四燕重相當。雀率重四，燕率重三也。諸再程之率皆可異術求也，即其數也。〕
今有甲、乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。
問甲、乙持錢各幾何？答曰：甲持三十七錢半。乙持二十五錢。
術曰：如方程。損益之。
〔此問者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全，內子。行定：二甲，一乙而錢一百；二甲，三乙而錢一百五十。於是乃如方程。
諸物有分者放此。〕
今有二馬，一牛，價過一萬，如半馬之價；一馬，二牛，價不滿一萬，如半牛之價。問牛、馬價各幾何？答曰：馬價五千四百五十四錢一十一分錢之六。牛價一千八百一十八錢一十一分錢之二。
術曰：如方程。損益之。
〔此一馬半與一牛價直一萬也，二牛半與一馬亦直一萬也。一馬半與一牛直錢一萬，通分內子，右行爲三馬，二牛，直錢二萬。二牛半與一馬直錢一萬，通分內子，左行爲二馬，五牛，直錢二萬也。〕
今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何？答曰：武馬一匹力引二十二石七分石之六。中馬一匹力引一十七石七分石之一。下馬一匹力引五石七分石之五。
術曰：如方程。各置所借，以正負術入之。
今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆。乙三綆不足，以丙一綆；丙四綆不足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？答曰：井深七丈二尺一寸。甲綆長二丈六尺五寸。乙綆長一丈九尺一寸。丙綆長一丈四尺八寸。丁綆長一丈二尺九寸。戊綆長七尺六寸。
術曰：如方程。以正負術入之。
〔此率初如方程爲之，名各一逮井。其後，法得七百二十一，實七十六，是爲七百二十一綆而七十六逮井，並用逮之數。以法除實者，而戊一綆逮井之數定，逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一爲井深，七十六爲戊綆之長，舉率以言之。〕
今有白禾二步，青禾三步，黃禾四步，黑禾五步，實各不滿鬥。白取青、黃，青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實滿鬥。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何？答曰：白禾一步實一百一十一分鬥之三十三。青禾一步實一百一十一分鬥之二十八。黃禾一步實一百一十一分鬥之一十七。黑禾一步實一百一十一分鬥之一十。
術曰：如方程。各置所取，以正負術入之。
今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆過於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？答曰：甲禾一秉重二十三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一十。
術曰：如方程。置重過於石之物爲負。
〔此問者言甲禾二秉之重過於一石也。其過者何雲？如乙一秉重矣。互其算，令相折除，而一以石爲之差實。差實者，如甲禾餘實。故置算相與同也。〕
以正負術入之。
〔此入，頭位異名相除者，正無入正之，負無入負之也。〕
今有令一人，吏五人，從者一十人，食雞一十；令一十人，吏一人，從者五人，食雞八；令五人，吏一十人，從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何？答曰令一人食一百二十二分雞之四十五。吏一人食一百二十二分雞之四十一。
從者一人食一百二十二分雞之九十七。
術曰：如方程。以正負術入之。
今有五羊，四犬，三雞，二兔，直錢一千四百九十六；四羊，二犬，六雞，三兔，直錢一千一百七十五；三羊，一犬，七雞，五兔，直錢九百五十八；二羊，三犬，五雞，一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何？答曰：羊價一百七十七。犬價一百二十一。雞價二十三。兔價二十九。
術曰：如方程。以正負術入之。
今有麻九鬥，麥七鬥，菽三鬥，荅二斗，黍五斗，直錢一百四十；麻七鬥，麥六鬥，菽四鬥，荅五斗，黍三鬥，直錢一百二十八；麻三鬥，麥五斗，菽七鬥，荅六鬥，黍四鬥，直錢一百一十六；麻二斗，麥五斗，菽三鬥，荅九鬥，黍四鬥，直錢一百一十二；麻一斗，麥三鬥，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直錢九十五。問一斗直幾何？荅曰：麻一斗七錢。麥一斗四錢。菽一斗三錢。荅一斗五錢。黍一斗六錢。
術曰：如方程。以正負術入之。
〔此麻麥與均輸、少廣之章重衰、積分皆爲大事。其拙於精理徒按本術者，或用算而布氈，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多爲貴。故其算也，莫不暗於設通而專於一端。至於此類，苟務其成，然或失之，不可謂要約。更有異術者庖丁解牛，遊刃理間，故能歷久其刃如新。夫數，猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理。故能和神愛刃，速而寡尤。凡九章爲大事，按法皆不盡一百算也。雖布算不多，然足以算多。世人多以方程爲難，或盡布算之象在綴正負而已，未暇以論其設動無方，斯膠柱調瑟之類。聊復恢演，爲作新術，著之於此，將亦啓導疑意。網羅道精，豈傳之空言？記其施用之例，著策之數，每舉一隅焉。
方程新術曰：以正負術入之。令左、右相減，先去下實，又轉去物位，則其求一行二物正負相借者，是其相當之率。又令二物與他行互相去取，轉其二物相借之數，即皆相當之率也。各據二物相當之率，對易其數，即各當之率也。更置成行及其下實，各以其物本率今有之，求其所同。並，以爲法。其當相併而行中正負雜者，同名相從，異名相消，餘，以爲法。以下置爲實。實如法，即合所問也。一物各以本率今有之，即皆合所問也。率不通者，齊之。
其一術曰：置羣物通率爲列衰。更置成行羣物之數，各以其率乘之，並，以爲法。其當相併而行中正負雜者，同名相從，異名相消，餘爲法。以成行下實乘列衰，各自爲實。實如法而一，即得。
以舊術爲之。凡應置五行。今欲要約，先置第三行，減以第四行，又減第五行；次置第二行，以第二行減第一行，又減第四行。去其頭位；餘，可半；次置右行及第二行。去其頭位；次以右行去第四行頭位，次以左行去第二行頭位，次以第五行去第一行頭位；次以第二行去第四行頭位；餘，可半；以右行去第二行頭位，以第二行去第四行頭位。餘，約之爲法、實。實如法而一，得六，即有黍價。以法治第二行，得荅價，右行得菽價，左行得麥價，第三行麻價。如此凡用七十七算。
以新術爲此。先以第四行減第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下位，又以減左行下位，不足減乃止；次以左行減第三行下位，次以第三行去左行下位。訖，廢去第三行。次以第四行去左行下位，又以減右行下位；次以右行去第二行及第四行下位；次以第二行減第四行及左行頭位；次以第四行減左行菽位，不足減乃止；次以左行減第二行頭位，餘，可再半；次以第四行去左行及第二行頭位，次以第二行去左行頭位，餘，約之，上得五，下得三，是菽五當荅；次以左行去第二行菽位，又以減第四行及右行菽位，不足減乃止；次以右行減第二行頭位，不足減乃止；次以第二行去右行頭位，次以左行去右行頭位；餘，上得六，下得五，是爲荅六當黍五；次以左行去右行荅位，餘，約之，上爲二，下爲一；次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以減左行下位；次，左行去第二行下位，餘，上得三，下得四，是爲麥三當菽四；次以第二行減第四行下位；次以第四行去第二行下位；餘，上得四，下得七，是爲麻四當麥七。是爲相當之率舉矣。據麻四當麥七，即麻價率七而麥價率四；又麥三當菽四，即爲麥價率四而菽價率三；又菽五當荅三，即爲菽價率三而荅價率五；又荅六當黍五，即爲荅價率五而黍價率六；而率通矣。更置第三行，以第四行減之，餘有麻一斗，菽四鬥正，荅三鬥負，下實四正。求其同爲麻之數，以菽率三、荅率五各乘其斗數，如麻率七而一，菽得一斗七分鬥之五正，荅得二斗七分鬥之一負。則菽、荅化爲麻。以並之，令同名相從，異名相消，餘得定麻七分鬥之四，以爲法。置四爲實，而分母乘之，實得二十八，而分子化爲法矣以法除得七，即麻一斗之價。置麥率四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自爲實。以麻率七爲法。所得即各爲價。亦可使置本行實與物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。並，以爲法。如此，即無正負之異矣，擇異同而已。又可以一術爲之。置五行通率，爲麻七、麥四、菽三、荅五、黍六，以爲列衰。成行麻一斗，菽四鬥正，荅三鬥負，各以其率乘之。訖，令同名相從，異名相消，餘爲法。又置下實乘列衰，所得各爲實。此可以置約法，則不復乘列衰，各以列衰爲價。如此則凡用一百二十四算也。〕
卷九
○句股（以御高深廣遠）
今有句三尺，股四尺，問爲弦幾何？答曰：五尺。
今有弦五尺，句三尺，問爲股幾何？答曰：四尺。
今有股四尺，弦五尺，問爲句幾何？答曰：三尺。
句股〔短面曰句，長面曰股，相與結角曰弦。句短其股，股短其弦。將以施於諸率，故先具此術以見其源也。〕
術曰：句、股各自乘，並，而開方除之，即弦。
〔句自乘爲朱方，股自乘爲青方。令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。〕
又，股自乘，以減弦自乘。其餘，開方除之，即句。
〔淳風等按：此術以句、股冪合成弦冪。句方於內，則句短於股。令股自乘，以減弦自乘，餘者即句冪也。故開方除之，即句也。〕
又，句自乘，以減弦自乘。其餘，開方除之，即股。
〔句、股冪合以成弦冪，令去其一，則餘在者皆可得而知之。〕
今有圓材，徑二尺五寸。欲爲方版，令厚七寸，問廣幾何？答曰：二尺四寸。
術曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘，減之。其餘，開方除之，即廣。
〔此以圓徑二尺五寸爲弦，版厚七寸爲句，所求廣爲股也。〕
今有木長二丈，圍之三尺。葛生其下，纏木七週，上與木齊。問葛長几何？答曰：二丈九尺。
術曰：以七週乘圍爲股，木長爲句，爲之求弦。弦者，葛之長。
〔據圍廣，求從爲木長者其形葛卷裹袤。以筆管，青線宛轉，有似葛之纏木。
解而觀之，則每週之間自有相間成句股弦。則其間葛長，弦。七週乘圍，併合衆句以爲一句；木長而股，短；術雲木長謂之股，言之倒。句與股求弦，亦無圍。弦之自乘冪出上第一圖。句、股冪合爲弦冪，明矣。然二冪之數謂倒在於弦冪之中而已。可更相表裏，居里者則成方冪，其居表者則成矩冪。二表裏形訛而數均。又按：此圖句冪之矩青，卷白表，是其冪以股弦差爲廣，股弦併爲袤，而股冪方其裏。股冪之矩青，卷白表，是其冪以句弦差爲廣，句弦併爲袤，而句冪方其裏。是故差之與並用除之，短、長互相乘也。〕
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？答曰：水深一丈二尺。葭長一丈三尺。
術曰：半池方自乘，〔此以池方半之，得五尺爲句；水深爲股；葭長爲弦。以句、弦見股，故令句自乘，先見矩冪也。〕
以出水一尺自乘，減之。
〔出水者，股弦差。減此差冪於矩冪則除之。〕
餘，倍出水除之，即得水深。
〔差爲矩冪之廣，水深是股。令此冪得出水一尺爲長，故爲矩而得葭長也。〕
加出水數，得葭長。
〔淳風等按：此葭本出水一尺，既見水深，故加出水尺數而得葭長也。〕
今有立木，系索其末，委地三尺。引索卻行，去本八尺而索盡。問索長几何？答曰：一丈二尺六分尺之一。
術曰：以去本自乘，〔此以去本八尺爲句，所求索者，弦也。引而索盡、開門去閫者，句及股弦差，同一術。去本自乘者，先張矩冪。〕
令如委數而一。
〔委地者，股弦差也。以除矩冪，即是股弦並也。〕
所得，加委地數而半之，即索長。
〔子不可半者，倍其母。加差者並，則兩長。故又半之。其減差者並，而半之，得木長也。〕
今有垣高一丈，倚木於垣，上與垣齊。引木卻行一尺，其木至地。問木長几何？答曰：五丈五寸。
術曰：以垣高一十尺自乘，如卻行尺數而一。所得，以加卻行尺數而半之，即木長數。
〔此以垣高一丈爲句，所求倚木者爲弦，引卻行一尺爲股弦差。爲術之意與系索問同也。〕
今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺。問徑幾何？答曰：材徑二尺六寸。
術曰：半鋸道自乘，〔此術以鋸道一尺爲句，材徑爲弦，鋸深一寸爲股弦差之一半。鋸道長是半也。
淳風等按：下鋸深得一寸爲半股弦差。注云爲股差差者，鋸道也。〕
如深寸而一，以深寸增之，即材徑。
〔亦以半增之。如上術，本當半之，今此皆同半，故不復半也。〕
今有開門去閫一尺，不合二寸。問門廣幾何？答曰：一丈一寸。
術曰：以去閫一尺自乘。所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半，即得門廣。
〔此去閫一尺爲句，半門廣爲弦，不合二寸以半之，得一寸爲股弦差。求弦，故當半之。今次以兩弦爲廣數，故不復半之也。〕
今有戶高多於廣六尺八寸，兩隅相去適一丈。問戶高、廣各幾何？答曰：廣二尺八寸。高九尺六寸。
術曰：令一丈自乘爲實。半相多，令自乘，倍之，減實。半其餘，以開方除之。所得，減相多之半，即戶廣；加相多之半，即戶高。
〔令戶廣爲句，高爲股，兩隅相去一丈爲弦，高多於廣六尺八寸爲句股差。按圖爲位，弦冪適滿萬寸。倍之，減句股差冪，開方除之。其所得即高廣並數。以差減並而半之，即戶廣。加相多之數，即戶高也。今此術先求其半。一丈自乘爲朱冪四、黃冪一。半差自乘，又倍之，爲黃冪四分之二，減實，半其餘，有朱冪二、黃冪四分之一。其於大方者四分之一。故開方除之，得高廣並數半。減差半，得廣；加，得戶高。又按：此圖冪：句股相併冪而加其差冪，亦減弦冪，爲積。蓋先見其弦，然後知其句與股。今適等，自乘，亦各爲方，合爲弦冪。令半相多而自乘，倍之，又半並自乘，倍之，亦合爲弦冪。而差數無者，此各自乘之，而與相乘數，各爲門實。及股長句短，同源而分流焉。假令句、股各五，弦冪五十，開方除之，得七尺，有餘一，不盡。假令弦十，其冪有百，半之爲句、股二冪，各得五十，當亦不可開。故曰：圓三、徑一，方五、斜七，雖不正得盡理，亦可言相近耳。其句股合而自相乘之冪者，令弦自乘，倍之，爲兩弦冪，以減之，其餘，開方除之，爲句股差。加於合而半，爲股；減差於合而半之，爲句。句、股、弦即高、廣、邪。其出此圖也，其倍弦爲袤。令矩句即爲冪，得廣即句股差。其矩句之冪，倍句爲從法，開之亦句股差。以句股差冪減弦冪，半其餘，差爲從法，開方除之，即句也。〕
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問折者高几何？答曰：四尺二十分尺之一十一。
術曰：以去本自乘，〔此去本三尺爲句，折之餘高爲股，以先令句自乘之冪。〕
令如高而一。
〔凡爲高一丈爲股弦並，以除此冪得差。〕
所得，以減竹高而半餘，即折者之高也。
〔此術與系索之類更相反覆也。亦可如上術，令高自乘爲股弦並冪，去本自乘爲矩冪，減之，餘爲實。倍高爲法，則得折之高數也。〕
今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會。問甲、乙行各幾何？答曰：乙東行一十步半，甲斜行一十四步半及之。
術曰：令七自乘，三亦自乘，並而半之，以爲甲斜行率。斜行率減於七自乘，餘爲南行率。以三乘七爲乙東行率。
〔此以南行爲句，東行爲股，斜行爲弦，並句弦率七。欲引者，當以股率自乘爲冪，如並而一，所得爲句弦差率。加並之半爲弦率，以差率減，餘爲句率。如是或有分，當通而約之乃定。術以同使無分母，故令句弦並自乘爲朱、黃相連之方。股自乘爲青冪之矩，以句弦併爲袤，差爲廣。今有相引之直，加損同上。其圖大體以兩弦爲袤，句弦併爲廣。引黃斷其半爲弦率。列用率七自乘者，句弦並之率。故弦減之，餘爲句率。同立處是中停也，皆句弦併爲率，故亦以句率同其袤也。〕
置南行十步，以甲斜行率乘之；副置十步，以乙東行率乘之；各自爲實。實如南行率而一，各得行數。
〔南行十步者，所有見句求見弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。〕
今有句五步，股十二步。問句中容方几何？答曰：方三步十七分步之九。
術曰：並句、股爲法，句、股相乘爲實。實如法而一，得方一步。
〔句、股相乘爲朱、青、黃冪各二。令黃冪袤於隅中，朱、青各以其類，令從其兩徑，共成修之冪：中方黃爲廣，並句、股爲袤。故並句、股爲法。冪圖：方在句中，則方之兩廉各自成小句股，而其相與之勢不失本率也。句面之小句、股，股面之小句、股各併爲中率，令股爲中率，並句、股爲率，據見句五步而今有之，得中方也。復令句爲中率，以並句、股爲率，據見股十二步而今有之，則中方又可知。此則雖不效而法，實有法由生矣。下容圓率而似今有、衰分言之，可以見之也。〕
今有句八步，股一十五步。問句中容圓徑幾何？答曰：六步。
術曰：八步爲句，十五步爲股，爲之求弦。三位並之爲法。以句乘股，倍之爲實。實如法，得徑一步。
〔句、股相乘爲圖本體，朱、青、黃冪各二。倍之，則爲各四。可用畫於小紙，分裁邪正之會，令顛倒相補，各以類合，成修冪：圓徑爲廣，並句、股、弦爲袤。故並句、股、弦以爲法。又以圓大體言之，股中青必令立規於橫廣，句、股又邪三徑均。而復連規，從橫量度句、股，必合而成小方矣。又畫中弦以規除會，則句、股之面中央小句股弦：句之小股、股之小句皆小方之面，皆圓徑之半。其數故可衰。以句、股、弦爲列衰，副併爲法。以句乘未並者，各自爲實。實如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰爲實，則得股面之小句可知。言雖異矣，及其所以成法之實，則同歸矣。則圓徑又可以表之差並：句弦差減股爲圓徑；又，弦減句股並，餘爲圓徑；以句弦差乘股弦差而倍之，開方除之，亦圓徑也。〕
今有邑方二百步，各中開門。出東門一十五步有木。問出南門幾何步而見木？答曰：六百六十六步大半步。
術曰：出東門步數爲法，〔以句率爲法也。〕
半邑方自乘爲實，實如法得一步。
〔此以出東門十五步爲句率，東門南至隅一百步爲股率，南門東至隅一百步爲見句步。欲以見句求股，以爲出南門數。正合半邑方自乘者，股率當乘見句，此二者數同也。〕
今有邑東西七里，南北九里，各中開門。出東門一十五里有木。問出南門幾何步而見木？答曰：三百一十五步。
術曰：東門南至隅步數，以乘南門東至隅步數爲實。以木去門步數爲法。實如法而一。
〔此以東門南至隅四里半爲句率，出東門一十五里爲股率，南門東至隅三里半爲見股。所問出南門即見股之句。爲術之意，與上同也。〕
今有邑方不知大小，各中開門。出北門三十步有木，出西門七百五十步見木。
問邑方几何？答曰：一里。
術曰：令兩出門步數相乘，因而四之，爲實。開方除之，即得邑方。
〔按：半邑方，令半方自乘，出門除之，即步。令二出門相乘，故爲半方邑自乘，居一隅之積分。因而四之，即得四隅之積分。故爲實，開方除，即邑方也。〕
今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方几何？答曰：二百五十步。
術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之，爲實。
〔此以折而西行爲股，自木至邑南一十四步爲句，以出北門二十步爲句率，北門至西隅爲股率，半廣數。故以出北門乘折西行股，以股率乘句之冪。然此冪居半，以西行。故又倍之，合東，盡之也。〕
並出南、北門步數，爲從法，開方除之，即邑方。
〔此術之冪，東西如邑方，南北自木盡邑南十四步之冪，各南北步爲廣，邑方爲袤，故連兩廣爲從法，並，以爲隅外之冪也。〕
今有邑方一十里，各中開門。甲、乙俱從邑中央而出：乙東出；甲南出，出門不知步數，邪向東北，磨邑隅，適與乙會。率：甲行五，乙行三。問甲、乙行各幾何？答曰：甲出南門八百步，邪東北行四千八百八十七步半，及乙。乙東行四千三百一十二步半。
術曰：令五自乘，三亦自乘，並而半之，爲邪行率；邪行率減於五自乘者，餘爲南行率；以三乘五爲乙東行率。
〔求三率之意與上甲乙同。〕
置邑方，半之，以南行率乘之，如東行率而一，即得出南門步數。
〔今半方，南門東至隅五里。半邑者，謂爲小股也。求以爲出南門步數。故置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一。〕
以增邑方半，即南行。
〔半邑者，謂從邑心中停也。〕
置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求東行者，以東行率乘之，各自爲實。
實如法，南行率，得一步。
〔此術與上甲乙同。〕
今有木去人不知遠近。立四表，相去各一丈，令左兩表與所望參相直。從後右表望之，入前右表三寸。問木去人幾何？答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。
術曰：令一丈自乘爲實，以三寸爲法，實如法而一。
〔此以入前右表三寸爲句率，右兩表相去一丈爲股率，左右兩表相去一丈爲見句。所問木去人者，見句之股。股率當乘見句，此二率俱一丈，故曰自乘之。
以三寸爲法。實如法得一寸。〕
今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末適與山峯斜平。人目高七尺。問山高几何？答曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。
術曰：置木高，減人目高七尺，〔此以木高減人目高七尺，餘有八丈八尺，爲句率；去人目三里爲股率；山去木五十三里爲見股，以求句。加木之高，故爲山高也。〕
餘，以乘五十三里爲實。以人去木三里爲法。實如法而一。所得，加木高，即山高。
〔此術句股之義。〕
今有井，徑五尺，不知其深。立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。
問井深幾何？答曰：五丈七尺五寸。
術曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，餘，以乘立木五尺爲實。以入徑四寸爲法。實如法得一寸。
〔此以入徑四寸爲句率，立木五尺爲股率，井徑之餘四尺六寸爲見句。問井深者，見句之股也。〕
今有戶不知高、廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。
問戶高、廣、邪各幾何？答曰：廣六尺。高八尺。邪一丈。
術曰：從、橫不出相乘，倍，而開方除之。所得，加從不出，即戶廣；〔此以戶廣爲句，戶高爲股，戶邪爲弦。凡句之在股，或矩於表，或方於裏。
連之者舉表矩而端之。又從句方里令爲青矩之表，未滿黃方。滿此方則兩端之邪重於隅中，各以股弦差爲廣，句弦差爲袤。故兩端差相乘，又倍之，則成黃方之冪。開方除之，得黃方之面。其外之青知，亦以股弦差爲廣。故以股弦差加，則爲句也。〕
加橫不出，即戶高；兩不出加之，得戶邪。